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| Línea 1: |
Línea 1: |
| | GRADO DE POLARIZACIÓN (DOP) EN TÉRMINOS DE PARÁMETROS DE STOKES |
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| | Podemos usar los parámetros de Stokes para describir el grado de polarización para cualquier estado de polarización (completamente polarizado, parcialmente polarizado y no polarizado). |
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| | El grado de polarización P se define como (basado en la intensidad de la luz): |
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| | <math>P=\frac { { I }_{ polarizado } }{ { I }_{ Total } } =\frac { \sqrt { { S }_{ 1 }^{ 2 }+{ S }_{ 3 }^{ 2 }+{ S }_{ 2 }^{ 2 } } }{ { S }_{ 0 } } </math> |
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| | Entonces el significado de P es: |
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| | P = 1 ---> luz completamente polarizada |
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| A continuación, consideremos un haz de luz representado por el vector de Jones
| | P = 0 ---> luz no polarizada |
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| <math> \hat E_i= \ \begin {bmatrix} { E }_{ ix }(t)\\ { E }_{ iy }(t)\end {bmatrix}</math> | | 0 < P <1 ---> luz parcialmente polarizada |
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| incidente en un dispositivo óptico. La luz interactuará con el dispositivo, y el nuevo estado de polarización de la luz al salir del dispositivo será:
| | EJEMPLOS DE PARÁMETROS DE STOKES PARA LUZ COMPLETAMENTE POLARIZADA |
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| <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} { E }_{ tx }(t)\\ { E }_{ ty }(t)\end {bmatrix}</math>
| | Ahora discutimos los parámetros de Stokes para algunos casos especiales. |
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| El acoplamiento entre estos dos vectores se puede describir completamente mediante un conjunto de cuatro coeficientes de acuerdo con el siguiente par de ecuaciones lineales:
| | 1. LUZ LINEALMENTE POLARIZADA HORIZONTALMENTE (LHP) |
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| <math>{ E }_{ tx }=a{ E }_{ ix }+b{ E }_{ iy }</math>
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| <math>{ E }_{ ty }=c{ E }_{ ix }+d{ E }_{ iy }</math> | | Para este caso, no hay componente de campo vertical, por lo que <math>{ E }_{ 0y }=0</math>. De (22), (23), (24) y (25) obtenemos: |
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| Estas dos ecuaciones pueden reescribirse usando la notación matricial como
| | <math>{ S }_{ 0 }={ E }_{ 0x }^{ 2 }</math> |
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| <math>\overrightarrow { { E }_{ t } } =\overrightarrow { J } \overrightarrow { { E }_{ i } } </math> | | <math>{ S }_{ 1 }={ E }_{ 0x }^{ 2 }</math> |
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| dónde
| | <math>{ S }_{ 2 }=0</math> |
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| <math> \hat J= \ \begin {bmatrix} a & b \\ 0 & -i \end {bmatrix}</math> | | <math>{ S }_{ 3 }=0</math> |
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| Es la matriz de Jones del dispositivo óptico. Una lista de matrices de Jones para algunos dispositivos ópticos comunes aparece en la Tabla 1. Es posible representar el paso de un haz de luz a través de múltiples dispositivos como la multiplicación de matrices de Jones. Tenga en cuenta que las matrices no conmutan, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Supongamos una señal de entrada polarizada horizontalmente, y veamos su propagación a través de dos dispositivos, un polarizador lineal orientado a y una placa de cuarto de onda con su eje vertical rápido. Si la luz pasa a través del polarizador primero, seguido por la placa de onda, tenemos:
| | 2. LUZ LINEALMENTE POLARIZADA VERTICALMENTE (LVP) |
| | Para este caso, no hay componente de campo horizontal, por lo que <math>{ E }_{ 0x }=0</math>. De (22) a (25) obtenemos: |
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| <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ c & d \end {bmatrix}</math> <math> \ \ \begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end {bmatrix}</math> <math> \ \ \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \end {bmatrix}</math> | | <math>{ S }_{ 0 }={ E }_{ 0y }^{ 2 }</math> |
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| <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ c & d \end {bmatrix}</math> <math> \ \ \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix}</math> | | <math>{ S }_{ 1 }={ -E }_{ 0y }^{ 2 }</math> |
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| <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} 1 \\ -i\end {bmatrix}</math> | | <math>{ S }_{ 2 }=0</math> |
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| donde hemos descuidado los factores de amplitud y fase comunes por simplicidad. La salida es polarizado circularmente a la derecha.
| | <math>{ S }_{ 3 }=0</math> |
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| | 3. LINEAL + 45 ° LUZ POLARIZADA (L +45) |
| | Las condiciones para obtener luz polarizada lineal de + 45 ° son: |
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| Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, es asociativa, por lo que una cadena de múltiples matrices de Jones que representan varios dispositivos se puede multiplicar para obtener una sola matriz de Jones que describe el sistema óptico en su conjunto. Por lo tanto, es posible condensar las propiedades de N dispositivos ópticos que actúan en serie hasta una sola matriz simplemente multiplicando las matrices de Jones de los dispositivos:
| | <math>{ E }_{ 0x }={ E }_{ 0y }={ E }_{ 0 } </math> y <math>\varepsilon =0</math> |
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| | Esto significa que esta polarización es una superposición de campos horizontales y verticales en fase, de igual amplitud. Con (22) a (25), obtenemos: |
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| [[Archivo:Matones.PNG|center]]
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| | <math>{ S }_{ 0 }={ 2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| El vector de Stokes
| | <math>{ S }_{ 1 }=0</math> |
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| El vector de Stokes es un conjunto de números, se aplica igualmente a luz polarizada, a luz parcialmente polarizada y a la luz no polarizada. Inventado en 1852 por el físico británico G.G Stokes, proporciona el método más sencillo para predecir el resultado de superponer dos haces incoherentes.
| | <math>{ S }_{ 2 }={ 2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| Más importante aún es el hecho de que el vector de Stokes de un método numérico simple para predecir cómo se afecta un haz por efecto de un polarizador o un retardador. La especificación del haz emergente se determina multiplicando el vector de Stokes que representa el haz incidente por una matriz que representa al polarizador o retardador.
| | <math>{ S }_{ 3 }=0</math> |
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| <math>1</math>La intensidad total de la luz (polarizada + no polarizada) <math>{ S }_{ 0 }</math>
| | 4. LINEAL -45 ° LUZ POLARIZADA (L -45) |
| | Las condiciones para obtener luz polarizada lineal de -45 ° son: |
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| | <math>{ E }_{ 0x }={ E }_{ 0y }={ E }_{ 0 } </math> y <math>\varepsilon =180°</math> |
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| <math>2</math>La intensidad de la polarización lineal horizontal o vertical <math>{ S }_{ 1 }</math>
| | Entonces obtenemos: |
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| <math>3</math>La intensidad de la polarización lineal + 45 ° o -45 ° <math>{ S }_{ 2 }</math>
| | <math>{ S }_{ 0 }={ 2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| | <math>{ S }_{ 1 }=0</math> |
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| <math>4</math>La intensidad de polarización circular derecha o izquierda <math>{ S }_{ 3 }</math>
| | <math>{ S }_{ 2 }={- 2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| La intensidad de la parte polarizada de la onda de luz viene dada por:
| | <math>{ S }_{ 3 }=0</math> |
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| <math>I_{ polarizda }=\sqrt { { s }_{ 1 }^{ 2 }+{ s }_{ 2 }^{ 2 }+{ s }_{ 3 }^{ 2 } } </math>
| | LUZ CIRCULARMENTE POLARIZADA DERECHA (RCP) |
| | Las condiciones para obtener una luz polarizada circularmente correcta son: |
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| La intensidad total <math>{ s }_{ 0 }</math> es:
| | <math>{ E }_{ 0x }={ E }_{ 0y }={ E }_{ 0 } </math> y <math>\varepsilon =90°</math> |
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| <math>{ s }_{ 0 }=I_{ polarizda }+{ I }_{ no\quad polarizada }=\sqrt { { s }_{ 1 }^{ 2 }+{ s }_{ 2 }^{ 2 }+{ s }_{ 3 }^{ 2 } } +{ I }_{ no\quad polarizado }</math>
| | Entonces obtenemos: |
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| Así:
| | <math>{ S }_{ 0 }={ 2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| <math>s_{ 0 }^{ 2 }={ s }_{ 1 }^{ 2 }+{ s }_{ 2 }^{ 2 }+{ s }_{ 3 }^{ 2 }</math> (Luz completamente polarizada) | | <math>{ S }_{ 1 }=0</math> |
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| <math>s_{ 0 }^{ 2 }>{ s }_{ 1 }^{ 2 }+{ s }_{ 2 }^{ 2 }+{ s }_{ 3 }^{ 2 }</math> (Luz parcialmente polarizado y no polarizado) | | <math>{ S }_{ 2 }=0</math> |
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| | <math>{ S }_{ 3 }={ 2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| Para representar (14) en términos de los observables del campo óptico, debemos tomar un promedio durante el tiempo de observación.
| | LUZ CIRCULARMENTE POLARIZADA IZQUIERDA (LCP) |
| | Las condiciones para obtener luz polarizada circularmente a la izquierda son: |
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| Dado que la vibración es tan rápida, el tiempo de observación puede verse como infinito. Pero, dado que <math>{ E }_{ x }(t)</math> y <math>{ E }_{ y }(t)</math> son periódicos, en realidad podemos promediar (14) solo en un solo período de oscilación.
| | <math>{ E }_{ 0x }={ E }_{ 0y }={ E }_{ 0 } </math> y <math>\varepsilon =-90°</math> |
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| El tiempo promedio está representado por los corchetes angulares <...>, por lo que (14) puede escribirse como:
| | Entonces obtenemos: |
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| <math>\frac { \left< { E }_{ x }^{ 2 }(t) \right> }{ { E }_{ 0x }^{ 2 } } +\frac { \left< { E }_{ y }^{ 2 }(t) \right> }{ { E }_{ 0y }^{ 2 } } -2\frac { \left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> }{ { E }_{ 0y }(t){ E }_{ 0x }(t) } cos\varepsilon ={ sin }^{ 2 }\varepsilon </math> ....(14) | | <math>{ S }_{ 0 }={ 2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| dónde
| | <math>{ S }_{ 1 }=0</math> |
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| <math>\left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> ={ Lim }_{ T\longrightarrow \infty }\frac { 1 }{ T } \int _{ 0 }^{ T }{ { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t)dt } </math> .....(15) | | <math>{ S }_{ 2 }=0</math> |
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| | <math>{ S }_{ 3 }={ -2E }_{ 0 }^{ 2 }</math> |
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| Luego multiplicamos (14) por <math>{ { 4E }_{ 0x } }^{ 2 }{ { E }_{ 0y } }^{ 2 }</math> , y luego obtenemos:
| | 7. LUZ POLARIZADA ELÍPTICAMENTE |
| | | Los parámetros de Stokes para luz polarizada elípticamente en general son como la definición: |
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| <math>{ { 4E }_{ 0y } }^{ 2 }\left< { E }_{ x }^{ 2 }(t) \right> +{ { 4E }_{ 0x } }^{ 2 }\left< { E }_{ y }^{ 2 }(t) \right> -8{ E }_{ 0y }(t){ E }_{ 0x }(t)\left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> cos\varepsilon ={ (2{ E }_{ 0y }(t){ E }_{ 0x }(t){ sin }\varepsilon ) }^{ 2 }</math> ......(16)
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| De (1) y (2), podemos encontrar los valores promedio de la ecuación (16) usando la ecuación (15):
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| <math>\left< { E }_{ x }^{ 2 }(t) \right> =\frac { 1 }{ 2 } { { E }_{ 0x } }^{ 2 }</math> ......(17)
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| <math>\left< { E }_{ y }^{ 2 }(t) \right> =\frac { 1 }{ 2 } { { E }_{ 0y } }^{ 2 }</math> .......(18)
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| <math>\left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> =\frac { 1 }{ 2 } { { E }_{ 0x } }{ { E }_{ 0y } }cos\varepsilon </math> .......(19)
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| Sustituyendo (17), (18), (19) en (16) y obtenemos:
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| <math>{ { 2E }_{ 0x } }^{ 2 }{ { E }_{ 0y } }^{ 2 }+{ { 2E }_{ 0x } }^{ 2 }{ { E }_{ 0y } }^{ 2 }-{ ({ { 2E }_{ 0x } }{ { E }_{ 0y } }cos\varepsilon ) }^{ 2 }={ (2{ E }_{ 0y }{ E }_{ 0x }{ sin }\varepsilon ) }^{ 2 }</math> ....(20)
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| Como queremos expresar el resultado final en términos de intensidad, podemos sumar y restar la cantidad <math>{ { E }_{ 0x } }^{ 4 }+{ { E }_{ 0y } }^{ 4 }</math> al lado izquierdo de (20); Haciendo esto se obtienen cuadrados perfectos.
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| Entonces podemos obtener:
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| <math>{ { ({ E }_{ ox }^{ 2 } }{ +{ { E }_{ oy }^{ 2 } } }) }^{ 2 }-{ { { ({ E }_{ ox }^{ 2 } } }{ -{ { E }_{ oy }^{ 2 } } }) }^{ 2 }-{ ({ { 2E }_{ 0x } }{ { E }_{ 0y } }cos\varepsilon ) }^{ 2 }={ (2{ E }_{ 0y }{ E }_{ 0x }{ sin }\varepsilon ) }^{ 2 }</math> .....(21)
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| Escribimos las cantidades dentro de los paréntesis como:
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| <math>{ S }_{ 0 }={ { E }_{ ox }^{ 2 } }{ +{ { E }_{ oy }^{ 2 } } }</math> ......(22)
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| <math>{ S }_{ 1 }={ { E }_{ ox }^{ 2 } }{ -{ { E }_{ oy }^{ 2 } } }</math> .......(23)
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| <math>{ S }_{ 2 }={ { { 2E }_{ 0x } }{ { E }_{ 0y } }cos\varepsilon }</math> .......(24)
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| <math>{ S }_{ 3 }={ { { 2E }_{ 0x } }{ { E }_{ 0y } }sin\varepsilon }</math> ........(25)
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| Tenga en cuenta que S_0 , S_1 , S_2 , S_3 son cantidades promediadas en el tiempo realizadas en un intervalo de tiempo T_D que es la constante de tiempo característica del proceso de detección
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| Luego reescribimos (21) como:
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| <math>{ S }_{ 0 }^{ 2 }={ S }_{ 1 }^{ 2 }+{ S }_{ 2 }^{ 2 }+{ S }_{ 3 }^{ 2 }</math> ...(26)
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| Las cuatro ecuaciones (22), (23), (24) y (25) son los parámetros de polarización de Stokes para una onda plana .
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| Nota:
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| Los parámetros de Stokes se expresan en términos de intensidades (que podemos medir)
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| Los parámetros de Stokes son cantidades reales (en lugar de números complejos como en las matrices de Jones)
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| Basándonos en la desigualdad de Schwartz, podemos decir que para cualquier estado de luz polarizada:
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| <math>{ S }_{ 0 }^{ 2 }\ge { S }_{ 1 }^{ 2 }+{ S }_{ 2 }^{ 2 }+{ S }_{ 3 }^{ 2 }</math>
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| En (17), la igualdad es verdadera para la luz completamente polarizada, y la desigualdad es verdadera para la luz parcialmente polarizada o no polarizada.
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GRADO DE POLARIZACIÓN (DOP) EN TÉRMINOS DE PARÁMETROS DE STOKES
Podemos usar los parámetros de Stokes para describir el grado de polarización para cualquier estado de polarización (completamente polarizado, parcialmente polarizado y no polarizado).
El grado de polarización P se define como (basado en la intensidad de la luz):
Entonces el significado de P es:
P = 1 ---> luz completamente polarizada
P = 0 ---> luz no polarizada
0 < P <1 ---> luz parcialmente polarizada
EJEMPLOS DE PARÁMETROS DE STOKES PARA LUZ COMPLETAMENTE POLARIZADA
Ahora discutimos los parámetros de Stokes para algunos casos especiales.
1. LUZ LINEALMENTE POLARIZADA HORIZONTALMENTE (LHP)
Para este caso, no hay componente de campo vertical, por lo que 
. De (22), (23), (24) y (25) obtenemos:
2. LUZ LINEALMENTE POLARIZADA VERTICALMENTE (LVP)
Para este caso, no hay componente de campo horizontal, por lo que 
. De (22) a (25) obtenemos:
3. LINEAL + 45 ° LUZ POLARIZADA (L +45)
Las condiciones para obtener luz polarizada lineal de + 45 ° son:
y 
Esto significa que esta polarización es una superposición de campos horizontales y verticales en fase, de igual amplitud. Con (22) a (25), obtenemos:
4. LINEAL -45 ° LUZ POLARIZADA (L -45)
Las condiciones para obtener luz polarizada lineal de -45 ° son:
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \varepsilon =180°
Entonces obtenemos:
LUZ CIRCULARMENTE POLARIZADA DERECHA (RCP)
Las condiciones para obtener una luz polarizada circularmente correcta son:
y Error al representar (error de sintaxis): \varepsilon =90°
Entonces obtenemos:
LUZ CIRCULARMENTE POLARIZADA IZQUIERDA (LCP)
Las condiciones para obtener luz polarizada circularmente a la izquierda son:
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \varepsilon =-90°
Entonces obtenemos:
7. LUZ POLARIZADA ELÍPTICAMENTE
Los parámetros de Stokes para luz polarizada elípticamente en general son como la definición:
