Discusión:Investigacion: RO18O

A continuación, consideremos un haz de luz representado por el vector de Jones

${\hat {E}}_{i}=\ {\begin{bmatrix}{E}_{ix}(t)\\{E}_{iy}(t)\end{bmatrix}}$

incidente en un dispositivo óptico. La luz interactuará con el dispositivo, y el nuevo estado de polarización de la luz al salir del dispositivo será:

${\hat {E}}_{t}=\ {\begin{bmatrix}{E}_{tx}(t)\\{E}_{ty}(t)\end{bmatrix}}$

El acoplamiento entre estos dos vectores se puede describir completamente mediante un conjunto de cuatro coeficientes de acuerdo con el siguiente par de ecuaciones lineales:

${E}_{tx}=a{E}_{ix}+b{E}_{iy}$

${E}_{ty}=c{E}_{ix}+d{E}_{iy}$

Estas dos ecuaciones pueden reescribirse usando la notación matricial como

${\overrightarrow {{E}_{t}}}={\overrightarrow {J}}{\overrightarrow {{E}_{i}}}$

dónde

${\hat {J}}=\ {\begin{bmatrix}a&b\\0&-i\end{bmatrix}}$

Es la matriz de Jones del dispositivo óptico. Una lista de matrices de Jones para algunos dispositivos ópticos comunes aparece en la Tabla 1. Es posible representar el paso de un haz de luz a través de múltiples dispositivos como la multiplicación de matrices de Jones. Tenga en cuenta que las matrices no conmutan, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Supongamos una señal de entrada polarizada horizontalmente, y veamos su propagación a través de dos dispositivos, un polarizador lineal orientado a y una placa de cuarto de onda con su eje vertical rápido. Si la luz pasa a través del polarizador primero, seguido por la placa de onda, tenemos:

${\hat {E}}_{t}=\ {\begin{bmatrix}1&0\\c&d\end{bmatrix}}$ $\ \ {\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}$ $\ \ {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$

${\hat {E}}_{t}=\ {\begin{bmatrix}1&0\\c&d\end{bmatrix}}$ $\ \ {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$

${\hat {E}}_{t}=\ {\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}$

donde hemos descuidado los factores de amplitud y fase comunes por simplicidad. La salida es polarizado circularmente a la derecha.

Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, es asociativa, por lo que una cadena de múltiples matrices de Jones que representan varios dispositivos se puede multiplicar para obtener una sola matriz de Jones que describe el sistema óptico en su conjunto. Por lo tanto, es posible condensar las propiedades de N dispositivos ópticos que actúan en serie hasta una sola matriz simplemente multiplicando las matrices de Jones de los dispositivos:

El vector de Stokes

El vector de Stokes es un conjunto de números, se aplica igualmente a luz polarizada, a luz parcialmente polarizada y a la luz no polarizada. Inventado en 1852 por el físico británico G.G Stokes, proporciona el método más sencillo para predecir el resultado de superponer dos haces incoherentes.

Más importante aún es el hecho de que el vector de Stokes de un método numérico simple para predecir cómo se afecta un haz por efecto de un polarizador o un retardador. La especificación del haz emergente se determina multiplicando el vector de Stokes que representa el haz incidente por una matriz que representa al polarizador o retardador.

$1$La intensidad total de la luz (polarizada + no polarizada) ${S}_{0}$

$2$La intensidad de la polarización lineal horizontal o vertical ${S}_{1}$

$3$La intensidad de la polarización lineal + 45 ° o -45 ° ${S}_{2}$

$4$La intensidad de polarización circular derecha o izquierda ${S}_{3}$

La intensidad de la parte polarizada de la onda de luz viene dada por:

$I_{polarizda}={\sqrt {{s}_{1}^{2}+{s}_{2}^{2}+{s}_{3}^{2}}}$

La intensidad total ${s}_{0}$ es:

${s}_{0}=I_{polarizda}+{I}_{no\quad polarizada}={\sqrt {{s}_{1}^{2}+{s}_{2}^{2}+{s}_{3}^{2}}}+{I}_{no\quad polarizado}$

Así:

$s_{0}^{2}={s}_{1}^{2}+{s}_{2}^{2}+{s}_{3}^{2}$ (Luz completamente polarizada)

$s_{0}^{2}>{s}_{1}^{2}+{s}_{2}^{2}+{s}_{3}^{2}$ (Luz parcialmente polarizado y no polarizado)

Para representar (14) en términos de los observables del campo óptico, debemos tomar un promedio durante el tiempo de observación.

Dado que la vibración es tan rápida, el tiempo de observación puede verse como infinito. Pero, dado que ${E}_{x}(t)$ y ${E}_{y}(t)$ son periódicos, en realidad podemos promediar (14) solo en un solo período de oscilación.

El tiempo promedio está representado por los corchetes angulares <...>, por lo que (14) puede escribirse como:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac { \left< { E }_{ x }^{ 2 }(t) \right> }{ { E }_{ 0x }^{ 2 } } +\frac { \left< { E }_{ y }^{ 2 }(t) \right> }{ { E }_{ 0y }^{ 2 } } -2\frac { \left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> }{ { E }_{ 0y }(t){ E }_{ 0x }(t) } cos\varepsilon ={ sin }^{ 2 }\varepsilon ....(14)

dónde

Error al representar (error de sintaxis): \left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> ={ Lim }_{ T\longrightarrow \infty }\frac { 1 }{ T } \int _{ 0 }^{ T }{ { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t)dt } .....(15)

Luego multiplicamos (14) por ${{4E}_{0x}}^{2}{{E}_{0y}}^{2}$ , y luego obtenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): { { 4E }_{ 0y } }^{ 2 }\left< { E }_{ x }^{ 2 }(t) \right> +{ { 4E }_{ 0x } }^{ 2 }\left< { E }_{ y }^{ 2 }(t) \right> -8{ E }_{ 0y }(t){ E }_{ 0x }(t)\left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> cos\varepsilon ={ (2{ E }_{ 0y }(t){ E }_{ 0x }(t){ sin }\varepsilon ) }^{ 2 } ......(16)

De (1) y (2), podemos encontrar los valores promedio de la ecuación (16) usando la ecuación (15):

Error al representar (error de sintaxis): \left< { E }_{ x }^{ 2 }(t) \right> =\frac { 1 }{ 2 } { { E }_{ 0x } }^{ 2 } ......(17)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { E }_{ y }^{ 2 }(t) \right> =\frac { 1 }{ 2 } { { E }_{ 0y } }^{ 2 } .......(18)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left< { E }_{ y }(t){ E }_{ x }(t) \right> =\frac { 1 }{ 2 } { { E }_{ 0x } }{ { E }_{ 0y } }cos\varepsilon .......(19)

Sustituyendo (17), (18), (19) en (16) y obtenemos:

${{2E}_{0x}}^{2}{{E}_{0y}}^{2}+{{2E}_{0x}}^{2}{{E}_{0y}}^{2}-{({{2E}_{0x}}{{E}_{0y}}cos\varepsilon )}^{2}={(2{E}_{0y}{E}_{0x}{sin}\varepsilon )}^{2}$ ....(20)

Como queremos expresar el resultado final en términos de intensidad, podemos sumar y restar la cantidad ${{E}_{0x}}^{4}+{{E}_{0y}}^{4}$ al lado izquierdo de (20); Haciendo esto se obtienen cuadrados perfectos.

Entonces podemos obtener:

${{({E}_{ox}^{2}}{+{{E}_{oy}^{2}}})}^{2}-{{({E}_{ox}^{2}}{-{{E}_{oy}^{2}}})}^{2}-{({{2E}_{0x}}{{E}_{0y}}cos\varepsilon )}^{2}={(2{E}_{0y}{E}_{0x}{sin}\varepsilon )}^{2}$ .....(21)

Escribimos las cantidades dentro de los paréntesis como:

${S}_{0}={{E}_{ox}^{2}}{+{{E}_{oy}^{2}}}$ ......(22)

${S}_{1}={{E}_{ox}^{2}}{-{{E}_{oy}^{2}}}$ .......(23)

${S}_{2}={{{2E}_{0x}}{{E}_{0y}}cos\varepsilon }$ .......(24)

${S}_{3}={{{2E}_{0x}}{{E}_{0y}}sin\varepsilon }$ ........(25)

Tenga en cuenta que S_0 , S_1 , S_2 , S_3 son cantidades promediadas en el tiempo realizadas en un intervalo de tiempo T_D que es la constante de tiempo característica del proceso de detección

Luego reescribimos (21) como:

${S}_{0}^{2}={S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$ ...(26)

Las cuatro ecuaciones (22), (23), (24) y (25) son los parámetros de polarización de Stokes para una onda plana .

Nota:

Los parámetros de Stokes se expresan en términos de intensidades (que podemos medir) Los parámetros de Stokes son cantidades reales (en lugar de números complejos como en las matrices de Jones)

Basándonos en la desigualdad de Schwartz, podemos decir que para cualquier estado de luz polarizada:

${S}_{0}^{2}\geq {S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}+{S}_{3}^{2}$

En (17), la igualdad es verdadera para la luz completamente polarizada, y la desigualdad es verdadera para la luz parcialmente polarizada o no polarizada.