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| Línea 1: |
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| ==EL vector de Jones==
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| El vector de de Jones, inventado en 1941 por un físico americano de 25 años, R.Clark Jones, es superior al vector de Stokes en algunos sentidos, pero inferior a otros. Es superior en el sentido de que es aplicable a la adición de haces coherentes. Es inferior en el sentido de que no puede aplicarse a la luz no polarizada o parcialmente polarizada y en que, además, utiliza números complejos.
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| Dado que la luz se compone de campos eléctricos y magnéticos oscilantes, Jones razonó que la forma más natural de representar la luz es en términos del vector de campo eléctrico.
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| Cuando se escribe como un vector de columna, este vector se conoce como un vector de Jones y tiene la forma:
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| <math> \hat E= \ \begin {bmatrix} { E }_{ x }(t)\\ { E }_{ y }(t)\end {bmatrix}</math>
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| Donde <math>{ E }_{ x }\left( t \right) </math> y <math>{ E }_{ y }\left( t \right) </math> son los componentes escalares instantáneos del campo eléctrico. Nota que estos valores pueden ser números complejos, por lo que la información de amplitud y fase es presente. A menudo, sin embargo, no es necesario conocer las amplitudes y fases exactas de los componentes del vector. Por lo tanto los vectores de Jones pueden ser normalizados y en fase común, los factores pueden ser descuidados. Esto resulta en una pérdida de información, pero puede simplificar enormemente expresiones. Por ejemplo, los siguientes vectores contienen diversos grados de información, pero son todas las representaciones vectoriales de Jones para el mismo estado de polarización:
| | A continuación, consideremos un haz de luz representado por el vector de Jones |
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| <math> \ \ \begin {bmatrix} { E }_{ 0 }{ e }^{ i\phi }\\ { E }_{ 0 }{ e }^{ i\psi }\end {bmatrix}</math> <math>\longrightarrow </math> <math> \ \ \begin {bmatrix} { e }^{ i\phi }\\ { e }^{ i\psi }\end {bmatrix}</math> <math>\longrightarrow </math> <math> \ \ \begin {bmatrix} 1\\ { e }^{ i(\psi -\phi ) }\end {bmatrix}</math> | | <math> \hat E_i= \ \begin {bmatrix} { E }_{ ix }(t)\\ { E }_{ iy }(t)\end {bmatrix}</math> |
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| Tenga en cuenta que se dice que un vector complejo se normaliza cuando el producto punto del vector con su conjugado complejo produce un valor de unidad.
| | incidente en un dispositivo óptico. La luz interactuará con el dispositivo, y el nuevo estado de polarización de la luz al salir del dispositivo será: |
| En la mayoría de los casos, se elige la base para el vector de Jones como los estados de polarización lineal horizontal y vertical. En este caso las representaciones de estos dos estados son:
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| <math> \ E_h = \ \begin {bmatrix} { E }_{ x }(t)\\ 0\end {bmatrix}</math> y <math> \ E_v= \ \begin {bmatrix} 0\\ { E }_{ y }(t)\end {bmatrix}</math> | | <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} { E }_{ tx }(t)\\ { E }_{ ty }(t)\end {bmatrix}</math> |
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| o, en forma normalizada,
| | El acoplamiento entre estos dos vectores se puede describir completamente mediante un conjunto de cuatro coeficientes de acuerdo con el siguiente par de ecuaciones lineales: |
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| <math> \ E_h = \ \begin {bmatrix} 1\\ 0\end {bmatrix}</math> y <math> \ E_v= \ \begin {bmatrix} 0\\1\end {bmatrix}</math> | | <math>{ E }_{ tx }=a{ E }_{ ix }+b{ E }_{ iy }</math> |
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| Donde <math>{ E }_{ h }</math> y <math>{ E }_{ v }</math> representan la luz polarizada horizontal y verticalmente, respectivamente. La suma de dos haces de luz coherentes viene dada por la suma de sus componentes correspondientes del vector de Jones, por lo que la suma de <math>{ E }_{ h }</math> y <math>{ E }_{ v }</math>cuando <math>{ E }_{ v }={ E }_{ h }</math> viene dada por :
| | <math>{ E }_{ ty }=c{ E }_{ ix }+d{ E }_{ iy }</math> |
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| | Estas dos ecuaciones pueden reescribirse usando la notación matricial como |
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| <math> \ E_45°= \ \begin {bmatrix} { E }_{ x }(t)\\ { E }_{ x }(t)\end {bmatrix}</math> <math>\Rightarrow </math> <math> \ E_45° = \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \ \begin {bmatrix} 1\\ 1\end {bmatrix}</math> | | <math>\overrightarrow { { E }_{ t } } =\overrightarrow { J } \overrightarrow { { E }_{ i } } </math> |
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| donde la flecha indica normalización. Tenga en cuenta que esta es la representación de la polarización. Estado en el que el campo eléctrico está orientado en un ángulo de 45 grados con respecto a la estados base. Otros dos estados de polarización comunes son circular derecho y circular izquierdo. En ambos casos los dos componentes tienen la misma amplitud,pero tienen una diferencia de fase de 90°. Así, la representación vectorial de Jones para la derecha-circular es
| | dónde |
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| | <math> \hat J= \ \begin {bmatrix} a & b \\ 0 & -i \end {bmatrix}</math> |
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| <math> \ E_R=\ \begin {bmatrix} { E }_{ 0 }{ e }^{ i\phi }\\ { E }_{ 0 }{ e }^{ i(\phi -\frac { \pi }{ 2 } ) }\end {bmatrix}</math>
| | Es la matriz de Jones del dispositivo óptico. Una lista de matrices de Jones para algunos dispositivos ópticos comunes aparece en la Tabla 1. Es posible representar el paso de un haz de luz a través de múltiples dispositivos como la multiplicación de matrices de Jones. Tenga en cuenta que las matrices no conmutan, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Supongamos una señal de entrada polarizada horizontalmente, y veamos su propagación a través de dos dispositivos, un polarizador lineal orientado a y una placa de cuarto de onda con su eje vertical rápido. Si la luz pasa a través del polarizador primero, seguido por la placa de onda, tenemos: |
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| Normalizando esta expresión y factorizando un factor de fase constante <math>{ e }^{ i\phi }</math>:
| | <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ c & d \end {bmatrix}</math> <math> \ \ \begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end {bmatrix}</math> <math> \ \ \begin {bmatrix} 1 \\ 0 \end {bmatrix}</math> |
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| <math> \ E_R=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \begin {bmatrix}\\ 1\\ { e }^{ -i\frac { \pi }{ 2 } }\end {bmatrix}</math> <math>=</math> <math> \ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \begin {bmatrix}\\ 1\\ -i\end {bmatrix}</math> | | <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} 1 & 0 \\ c & d \end {bmatrix}</math> <math> \ \ \begin {bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix}</math> |
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| Del mismo modo, la representación normalizada para la luz circular izquierda es:
| | <math> \hat E_t= \ \begin {bmatrix} 1 \\ -i\end {bmatrix}</math> |
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| <math> \ E_L=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \begin {bmatrix}\\ 1\\ { e }^{ i\frac { \pi }{ 2 } }\end {bmatrix}</math> <math>=</math> <math> \ \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \begin {bmatrix}\\ 1\\ i\end {bmatrix}</math>
| | donde hemos descuidado los factores de amplitud y fase comunes por simplicidad. La salida es polarizado circularmente a la derecha. |
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| La intensidad del haz es proporcional a la suma de los cuadrados de las magnitudes de los elementos. Si cada elemento del vector se multiplica por 4,la intensidad aumenta por un factor de 16.
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| Aplicaciones: Una aplicación sencilla del vector de Jones es la predicción del resultado de componer dos haces coherentes.
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| Considérese un haz polarizado horizontalmente de intensidad 1 y otro verticalmente polarizado de intensidad de 16 veces mayor. Los haces se suponen coherentes y de la misma fase.
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| Los vectores correspondientes son <math> \ \ \begin {bmatrix} 1\\0\end {bmatrix}</math> y <math> \ \ \begin {bmatrix} 0\\ 4\end {bmatrix}</math> El resultado de componer los dos haces se encuentra sumando los vectores. La suma es <math> \ \ \begin {bmatrix} 1\\ 4\end {bmatrix}</math>
| | Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, es asociativa, por lo que una cadena de múltiples matrices de Jones que representan varios dispositivos se puede multiplicar para obtener una sola matriz de Jones que describe el sistema óptico en su conjunto. Por lo tanto, es posible condensar las propiedades de N dispositivos ópticos que actúan en serie hasta una sola matriz simplemente multiplicando las matrices de Jones de los dispositivos: |
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| Este corresponde a un haz linealmente polarizado a un angulo dado por <math>arctan\left( \frac { 4 }{ 1 } \right) </math>; esto es ,76°. La intensidad esta dada por <math>{ (1) }^{ 2 }+{ (4) }^{ 2 }</math> osea 17.
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| | [[Archivo:Matones.PNG|center]] |
A continuación, consideremos un haz de luz representado por el vector de Jones
incidente en un dispositivo óptico. La luz interactuará con el dispositivo, y el nuevo estado de polarización de la luz al salir del dispositivo será:
El acoplamiento entre estos dos vectores se puede describir completamente mediante un conjunto de cuatro coeficientes de acuerdo con el siguiente par de ecuaciones lineales:
Estas dos ecuaciones pueden reescribirse usando la notación matricial como
dónde
Es la matriz de Jones del dispositivo óptico. Una lista de matrices de Jones para algunos dispositivos ópticos comunes aparece en la Tabla 1. Es posible representar el paso de un haz de luz a través de múltiples dispositivos como la multiplicación de matrices de Jones. Tenga en cuenta que las matrices no conmutan, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Supongamos una señal de entrada polarizada horizontalmente, y veamos su propagación a través de dos dispositivos, un polarizador lineal orientado a y una placa de cuarto de onda con su eje vertical rápido. Si la luz pasa a través del polarizador primero, seguido por la placa de onda, tenemos:
donde hemos descuidado los factores de amplitud y fase comunes por simplicidad. La salida es polarizado circularmente a la derecha.
Si bien la multiplicación de matrices no es conmutativa, es asociativa, por lo que una cadena de múltiples matrices de Jones que representan varios dispositivos se puede multiplicar para obtener una sola matriz de Jones que describe el sistema óptico en su conjunto. Por lo tanto, es posible condensar las propiedades de N dispositivos ópticos que actúan en serie hasta una sola matriz simplemente multiplicando las matrices de Jones de los dispositivos:
