Determinacion de frecuencias y modos naturales

Encontrar la frecuencia fundamental aproximada de un sistema compuesto en función de las frecuencias naturales de las partes componentes aplicando la fórmula de Dunkerley. Entender el principio de Rayleigh y las propiedades del cociente de Rayleigh, así como calcular la frecuencia natural fundamental de un sistema aplicando el método de Rayleigh. Encontrar las frecuencias naturales aproximadas de vibración y los vectores modales según el método de Holzer.Determinar las frecuencias mínima, intermedia y máxima de un sistema por medio del método de iteración matricial y sus extensiones (utilizando el procedimiento de deflación matricial).Encontrar todos los valores eigen y los vectores eigen de un sistema de varios grados de libertad utilizando el método de Jacobi.

Fórmula de Dunkerley

Obtendremos el valor aproximado de la $\textbf{frecuencia fundamental}$ de un sistema compuesto en función de las frecuencias naturales de sus partes componentes. Se deriva aprovechando que las altas frecuencias naturales de la mayoría de los sistemas vibratorios son grandes comparadas con sus frecuencias fundamentales.

Para derivar la fórmula de Dunkerley, considere un sistema general de n grados de libertad cuyos valores eigen se pueden determinar resolviendo la ecuación de frecuencia:

\begin{equation} \label{fre} |-[k]+ \omega^2 [m]|= 0 \end{equation}

o

\begin{equation}\label{fre2} \left|-\frac{1}{\omega^2}[I]+[a][m] \right|=0 \end{equation}

En un sistema de masa concentrada con una matriz diagonal, la ecuación $\ref{fre2}$ se escribe como

\begin{equation} \label{matsum} \left|-\frac{1}{\omega^2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & m_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & m_{n} \end{bmatrix} \right| =0 \end{equation}

es decir,

\begin{equation}\label{matsum2} \begin{vmatrix} \left(- \frac{1}{\omega^2} + a_{11}m_{1} \right) & a_{12}m_2 & \cdots & a_{1n}m_n \\ a_{21}m_1 & \left(- \frac{1}{\omega^2} + a_{22}m_{2} \right) & \cdots & a_{2n}m_n\\ \vdots \\ a_{n1}m_1 & a_{n2}m_2 & \cdots & \left(- \frac{1}{\omega^2} + a_{nn}m_{n} \right) \end{vmatrix} =0 \end{equation}

Realizando la expansión de la ecuación $\ref{matsum2}$

\begin{multline} \label{exp} \left(\frac{1}{\omega^2} \right)^n - (a_{11}m_1 + a_{22}m_2 + \cdots + a_{nn} m_n) \left(\frac{1}{\omega^2} \right)^{n-1}\\ + (a_{11} a_{33}m_1 m_3 + \cdots + a_{n-1,n-1} a_{nn}m_{n-1}m_n\\ - a_{12}a_{21}m_1m_2 - \cdots - a_{n-1,n} a_{n,n-1} m_{n-1}m_n) \left(\frac{1}{\omega^2} \right)^{n-2}- \cdots = 0 \end{multline}

Una ecuación polinomial de grado enésimo en $\frac{1}{\omega^2}$. Si las raíces de la ecuación $\ref{exp}$ se indica como $\frac{1}{\omega_{1}^{2}}$ , $\frac{1}{\omega_{2}^{2}}$, $\cdots$, $\frac{1}{\omega_{n}^{2}}$. Por lo tanto

\begin{multline} \label{exp2} \left(\frac{1}{\omega^{2}} -\frac{1}{\omega_{1}^{2}} \right) \left(\frac{1}{\omega^{2}} -\frac{1}{\omega_{2}^{2}} \right) \cdots \left(\frac{1}{\omega^{2}} -\frac{1}{\omega_{n}^{2}} \right)\\ = \left(\frac{1}{\omega^{2}}\right)^n - \left(\frac{1}{\omega_{1}^{2}} + \frac{1}{\omega_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{\omega_{n}^{2}}\right) \left(\frac{1}{\omega^{2}} \right)^{n-1} - \cdots = 0 \end{multline}

Igualando el coeficiente de $\left(\frac{1}{\omega^{2}} \right)^{n-1}$ en las ecuaciones $\ref{exp2}$ y $\ref{exp}$ se obtiene

\begin{equation}\label{igual} \frac{1}{\omega_{1}^{2}} + \frac{1}{\omega_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{\omega_{n}^{2}} = a_{11}m_1 + a_{22}m_2 + \cdots + a_{nn} m_n \end{equation}

En la mayoría de los casos las frecuancias altas $\omega_2 , \omega_3, \cdots , \omega_n$ son considerablemente más grandes que la frecuencia fundamental $\omega_1$

\begin{equation*} \frac{1}{\omega_{i}^{2}} \ll \frac{1}{\omega_{1}^{2}}, i= 2,3, \cdots, n \end{equation*}

Por lo tanto la ecuación $\ref{igual}$ se puede escribir aproximadamente como

\begin{equation}\label{igual2} \frac{1}{\omega_{1}^{2}} \simeq a_{11}m_1 + a_{22}m_2 + \cdots + a_{nn} m_n \end{equation}

Esta ecuación se conoce como fórmula de Dunkerley. La frecuencia fundamental que se da en la ecuación $\ref{igual2}$ siempre será menor que el valor exacto. En algunos casos convendrá más volver a escribir la ecuación $\ref{igual2}$ como:

\begin{equation} \frac{1}{\omega_{1}^{2}} \simeq \frac{1}{\omega_{1n}^{2}} + \frac{1}{\omega_{2n}^{2}}+ \cdots + \frac{1}{\omega_{nn}^{2}} \end{equation}

donde $\omega_{in} = ( {1}/{a_{ii}m_i} )^{1/2} = ({k_{ii}}/{m_i})^{1/2} $ indica la frecuencia natural de un sistema de un solo grado de libertad compuesto de la masa $m_i$ y el resorte de rigidez $k_ii, i =1,2, \cdots, n$.

Método de Rayleigh

Este método se puede ampliar para encontrar el valor aproximado de la frecuencia natural fundamental de un sistema discreto (cualquier cuerpo se compone de una estructura discreta o una distribución continua de materia). El método está basado en el principio de Rayleigh, el cual se puede citar como sigue:

La frecuencia de vibración de un sistema conservador vibratorio respecto a una posición de equilibrio tiene en valor estacionario de un modo natural. Este valor estacionario, de hecho, es un valor mínimo en la proximidad del modo natural fundamental.

Resaltando que estacionario no refiere a un estado de reposo, sino a un modo resonante de un objeto extendido vibrante.

\begin{equation} \label{MetRay} T = \frac{1}{2} \int_0^l w^2 dm= \frac{1}{2} w^2 \rho A(x) dx \end{equation}

Derivaremos una expresión para el valor apropiado de la primera frecuencia natural de un sistema de varios grados de libertad de acuerdo con el método de Rayleigh (Ver ecuación $\ref{MetRay}$).

Las energías cinéticas y potencial de un sistema de $n$ grados de libertad se expresan como

\begin{equation} \label{T} T= \frac{1}{2} \dot{x}^T [M] \dot{x} \end{equation}

\begin{equation} \label{V} V= \frac{1}{2} \vec{x}^T [k] \vec{x} \end{equation}

Para enconttrar las frecuencias naturales, suponga que el movimiento armónico es

\begin{equation} \label{x} \vec{x} = \vec{X} \cos \omega t \end{equation}

donde $\vec{X}$ indica el vector de amplitudes (modo de forma) y $\omega$ representa la frecuencia natural de vibración. Si el sistema es conservador, la energía cinética máxima es igual a la energía potencial máxima:

\begin{equation} \label{T-T} T_{máx}= V_{máx} \end{equation}

Sustituyendo la ecuación $\ref{x}$ en las ecuaciones $\ref{T}$ y $\ref{V}$

\begin{equation} \label{Tmax} T_{máx}= \frac{1}{2} \vec{X}^T [m] \vec{X} \omega^2 \end{equation}

\begin{equation} \label{Vmax} V_{máx}= \frac{1}{2} \vec{X}^T [k] \vec{X} \end{equation}

Igualando $T_{máx}=V_{máx}, obtenemos

\begin{equation} \label{w} \omega^2 = \frac{ \vec{X}^T [k] \vec{X} }{ \vec{X}^T [m] \vec{X}} \end{equation}

Y es el lado derecho de la ecuación que se conoce como cociente de Rayleigh y se indica como $R(\vec{X})$.

$\textbf{Propiedades del cociente de Rayleigh }$