Diferencia entre revisiones de «Demostración de la unicidad del problema de Dirichlet.»
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El problema de Dirichlet consiste en hallar una función $\phi$ que | El problema de Dirichlet consiste en hallar una función $\phi$ que | ||
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Para demostrar la unicidad hay que mostrar que, si tal solución existe, es única. Para esto suponga que existen dos soluciones, $\phi_{1}$ y $\phi_{2}$. Así, tendremos: | |||
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Para mostrar que $\phi_{1}=\phi_{2}$ de manera idéntica, hay que | Para mostrar que $\phi_{1}=\phi_{2}$ de manera idéntica, hay que mostrar que $G=0$ de manera idéntica en $R$. Sea $F=G$.Donde $F\left(x,y\right)$$G\left(x,y\right)$ son continuas y con primeras y segundas derivadas derivadas parciales | ||
mostrar que $G=0$ de manera idéntica en $R$. Sea $F=G$.Donde $F\left(x,y\right)$$G\left(x,y\right)$ | continuas en una región simplemente conexa $R$ limitada por una curva simple cerrada. Si $P=F\frac{\partial G}{\partial y}$ , | ||
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una curva simple cerrada. Si $P=F\frac{\partial G}{\partial y}$ , | |||
$Q=-F\frac{\partial G}{\partial x}$ en el teorema de Green de modo | $Q=-F\frac{\partial G}{\partial x}$ en el teorema de Green de modo | ||
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Supongamos que $G$ no es de manera idéntica igual a una constante | Supongamos que $G$ no es de manera idéntica igual a una constante en $R$. Del hecho de que $G=0$ en $C$ y de que $\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}G}{\partial y^{2}}=0$, idénticamente en $R$ , $\left(4\right)$se convierte en : | ||
en $R$. Del hecho de que $G=0$ en $C$ y de que $\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}G}{\partial y^{2}}=0$ | |||
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Revisión actual - 15:58 30 sep 2023
Demostración de la unicidad del problema de Dirichlet.
El problema de Dirichlet consiste en hallar una función $\phi$ que satisfaga $\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}=0$ en una región simplemente conexa $R$ y que tome un valor prefijado $\phi=f\left(x,y\right)$ en la frontera $C$ de $R$.
Para demostrar la unicidad hay que mostrar que, si tal solución existe, es única. Para esto suponga que existen dos soluciones, $\phi_{1}$ y $\phi_{2}$. Así, tendremos:
\[ \frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi_{1}}{\partial y^{2}}=0...\left(1\right) \]
en $R$ y $\phi_{1}=f\left(x,y\right)$ en $C$
\[ \frac{\partial^{2}\phi_{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\phi_{2}}{\partial y^{2}}=0...\left(2\right) \]
en $R$ y $\phi_{2}=f\left(x,y\right)$ en $C$
Al restar$\left(1\right)$ y $\left(2\right)$ y haciendo $G=\phi_{1}-\phi_{2}$ se obtiene:
\[ \frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}G}{\partial y^{2}}=0...\left(3\right) \]
en $R$ y $G=0$ en G
Para mostrar que $\phi_{1}=\phi_{2}$ de manera idéntica, hay que mostrar que $G=0$ de manera idéntica en $R$. Sea $F=G$.Donde $F\left(x,y\right)$$G\left(x,y\right)$ son continuas y con primeras y segundas derivadas derivadas parciales continuas en una región simplemente conexa $R$ limitada por una curva simple cerrada. Si $P=F\frac{\partial G}{\partial y}$ , $Q=-F\frac{\partial G}{\partial x}$ en el teorema de Green de modo que:
\[ \oint_{C}Pdx+Qdy=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \]
Entonces:
\[ \oint_{C}F\left(\frac{\partial G}{\partial y}dx-\frac{\partial G}{\partial x}dy\right)=\iint_{R}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(-F\frac{\partial G}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(F\frac{\partial G}{\partial y}\right)\right]=-\iint_{R}\left[F\left(\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2}G}{\partial y^{2}}\right)+\left(\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial G}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial G}{\partial y}\right)\right]dxdy...\left(4\right) \]
Supongamos que $G$ no es de manera idéntica igual a una constante en $R$. Del hecho de que $G=0$ en $C$ y de que $\frac{\partial^{2}G}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}G}{\partial y^{2}}=0$, idénticamente en $R$ , $\left(4\right)$se convierte en :
\[ \iint_{R}\left[\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right)^{2}\right]dxdy=0 \]
Pero esto contradice la suposición de que $G$ no es de manera idéntica
igual a una constante en $R$, pues en tal caso:
\[ \iint_{R}\left[\left(\frac{\partial G}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial G}{\partial y}\right)^{2}\right]dxdy>0 \]
Se concluye que $G$ debe ser constante en $R$ y, por continuidad, debe tenerse $G=0$. Por tanto , $\phi_{1}=\phi_{2}$ y sólo existe una solución.
Aportación de: Alejandro Juárez Toribio (discusión) 22:57 3 jul 2015 (CDT) Aportación de: Carlosmiranda (discusión) 15:47 22 nov 2020 (CST)
