Contribución: Oscilador armónico sobreamortiguado.
Oscilador armónico amortiguado.
Vamos a considerar un objeto de masa $m$que está sujeto por un resorte de constante elástica $k$. Asumiremos además que hay una fuerza retardante de viscosidad que es una función lineal de la velocidad como la producida por la resistencia del aire a bajas velocidades. Las fuerzas se indican en la siguiente figura:
Si x es el desplazamiento, partiendo de la posición de equilibrio, entonces la fuerza restitutiva es $-kx$ , y la fuerza retardante es $-c\frac{dx}{dt}$ donde c es
una constante de proporcionalidad. Así, la ecuación diferencial de movimiento es
\[ m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+c\frac{dx}{dt}+kx=0...\left(1\right) \]
esta ecuación se puede reescribir como:
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{c}{m}\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}x=0...\left(2\right) \]
Si sustituimos el factor de amortiguamiento $\gamma$ definido como
\[ \gamma\equiv\frac{c}{2m}...\left(3\right) \]
y $\omega_{0}^{2}=\frac{k}{m}$ en la ecuación $\left(2\right)$se
simplifica la ecuación y queda:
\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+2\gamma\frac{dx}{dt}+\omega_{0}^{2}x=0...\left(4\right) \]
Para resolver esta ecuación diferencial usaremos el siguiente método.
Sea $D$ el operador diferencial $\frac{d}{dt}$. Usando esta notación
en la ecuación
$\left(4\right)$se obtiene:
\[ D^{2}x+2\gamma Dx+\omega_{0}^{2}x=\left[D^{2}+2\gamma D+\omega_{0}^{2}\right]x=0...\left(5\right) \]
Esta última ecuación es totalmente equivalente a la ecuación $\left(2\right)$.
Usando el teorema del binomio reescribimos la ecuación $\left(5\right)$como:
\[ \left[D+\gamma-\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}\right]\left[D+\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}\right]x=0...\left(6\right) \]
Gracias a esta factorización pudimos reducir el orden de la expresión
de la ecuación $\left(5\right)$. Ahora tenemos un producto de dos
expresiones
algebraicas de primer orden. Si a $D$ en la ecuación $\left(6\right)$ya no la vemos como un operador sino como un término algebraico, encontramos
que hay dos soluciones de la ecuación $\left(6\right)$:
\[ D_{1}=-\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}=-\gamma+q=-\left(\gamma-q\right)...\left(7\right) \]
\[
D_{2}=-\gamma-\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}=-\gamma-q=-\left(\gamma+q\right)...\left(8\right)
\]
\[
q=\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}...\left(9\right)
\]
Por lo tanto se propone que la solución a la ecuación diferencial
de la ecuación $\left(4\right)$es la combinación lineal :
\[ x\left(t\right)=A_{1}e^{-\left(\gamma-q\right)t}+A_{2}e^{-\left(\gamma+q\right)t}...\left(10\right) \]
La solución final del problema dependera de las siguientes tres condiciones:
1.-$q$ real $>0$ (sobreamortiguado)
2.- $q$ real $=0$ (Críticamente amortiguado)
3.- $q$ imaginario (amortiguamiento débil)
El que nos interesará es el último caso.
.
Oscilador armónico sobreamortiguado.
Si la constante $\gamma$ es lo suficientemente pequeña entonces $\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}<0$ el factor $q$en la ecuación $\left(9\right)$es imaginario. La presencia del factor
real $-\gamma$ en el exponente de la solución sólo conduce al fin del movimiento oscilatorio.
Ahora reescribiremos $q$ como $i\omega_{d}$, entonces tendremos:
\[ q=i\omega_{d} \]
Entonces:
\[ \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c^{2}}{4m^{2}}}...\left(11\right) \]
donde $\omega_{0}$ y $\omega_{d}$ son frecuencias angulares de un
oscilador armónico no amortiguado y sobreamortiguado respectivamente.
Ahora reescribiremos
la ecuación $\left(10\right)$en términos de las expresiones ya descritas:
\[ x\left(t\right)=A_{1}e^{-\left(\gamma-q\right)t}+A_{2}e^{-\left(\gamma+q\right)t} \]
\[
x\left(t\right)=z\left(t\right)=C_{1}e^{-\left(\gamma-i\omega_{d}\right)t}+C_{2}e^{-\left(\gamma+i\omega_{d}\right)t}=e^{-\gamma t}\left[C_{1}e^{i\omega_{d}t}+C_{2}e^{-i\omega_{d}t}\right]...\left(12\right)
\]
donde $C_{1}$y $C_{2}$son constantes de integración. La solución
contiene una suma de exponenciales complejos. Pero la solución debe
ser real, para
que tenga significado físico. Si usamos la ecuación de Euler, podemos reescribir la ecuación $\left(12\right)$:
\[ z\left(t\right)=e^{-\gamma t}\left\{ C_{1}\left[\cos\left(\omega_{d}t\right)+i\sin\left(\omega_{d}t\right)\right]+C_{2}\left[\cos\left(-\omega_{d}t\right)+i\sin\left(-\omega_{d}t\right)\right]\right\} \]
\[
z\left(t\right)=e^{-\gamma t}\left\{ C_{1}\left[\cos\left(\omega_{d}t\right)+i\sin\left(\omega_{d}t\right)\right]+C_{2}\left[\cos\left(\omega_{d}t\right)-i\sin\left(\omega_{d}t\right)\right]\right\}
\]
Tomando la parte real $Re\left[z\left(t\right)\right]$:
\[ Re\left[z\left(t\right)\right]=e^{-\gamma t}\left[C_{1}\cos\left(\omega_{d}t\right)+C_{2}\cos\left(\omega_{d}t\right)\right]=Ke^{-\gamma t}\left[\cos\left(\omega_{d}t\right)\right] \]
Por lo tanto la solución a la ecuación de movimiento para el caso
sobreamortiguado de la ecuación $\left(10\right)$es:
\[ x\left(t\right)=Ke^{-\gamma t}\left[\cos\left(\omega_{d}t\right)\right] \]
donde $K=C_{1}+C_{2}$ , $\gamma\equiv\frac{c}{2m}$, $\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}$
Alejandro Juárez Toribio (discusión) 22:40 2 jul 2015 (CDT)
