Compleja:z-ej-cap2.3

De luz-wiki

La función exponencial y el logaritmo complejo

2.27 Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.

Demostración:

Para la función seno tenemos

Si \(sen(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=0\), entonces \(e^{iz}=e^{-iz}\), como \(z\in\mathbb{C}, z=a+bI, a,b\in\mathbb{R}\), asi

\(e^{ai-b}=e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)\)

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

\(e^{-b}sen(a)=-e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}+e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (1)

\(e^{-b}cos(a)=e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}-e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (2)

De (1) se observa que \(e^{-b}+e^b\not=0\), por lo que necesariamente \(sen(a)=0\Longrightarrow a=0\), sustituyendo \(a\) en (2) se tiene que

\(e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=0\)


Para la función coseno tenemos

Si \(cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=0\), entonces \(e^{iz}=-e^{-iz}\), luego

\(e^{ai-b}=-e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=-e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=-e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)\)

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

\(e^{-b}sen(a)=e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}-e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (3)

\(e^{-b}cos(a)=-e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}+e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (4)

De (4) se observa que \(e^{-b}+e^b\not=0\), por lo que necesariamente \(cos(a)=0\Longrightarrow a=\frac{\pi}{2}\), sustituyendo \(a\) en (3) se tiene que

\(e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=\frac{\pi}{2}\)

Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 15:47 28 nov 2012 (CST)


2.28 Concluya del ejercicio anterior que las funciones complejas \(sen(z)\) y \(cos(z)\), son periódicas con periodos reales de la forma \(\tau=2k\pi\) con \(k\in\mathbb{Z}\). Es decir,sus dominios de periocidad son banda verticales de ancho \(2\pi\).

Del ejercicio anterior, se concluyó, para la función seno, que si \(sen(z)=0\), con \(z=a+bi\), entonces \(sen(a)=0\) & \(b=0\), de donde \(a=arcsen(0)=2k\pi,k\in\mathbb{Z}\), es decir,

\(z\) es puramente real, de la forma \(z=2k\pi\), cuyo ancho de banda es \(2\pi\).

Para el caso del coseno, se concluyó que si \(cos(a)=0\), entonces \(a=arccos(0)=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) & \(b=0\), nuevamente \(z\) es puramente real, de la forma \(z=\frac{\pi}{2}+2k\pi\). cuyo ancho de banda es \(2\pi\)

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 16:06 28 nov 2012 (CST)


--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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