Compleja:z-ej-cap2.3

La función exponencial y el logaritmo complejo

2.27 Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.

Demostración:

Para la función seno tenemos

Si $sen(z)={\frac {1}{2i}}(e^{iz}-e^{-iz})=0$ , entonces $e^{iz}=e^{-iz}$ , como $z\in \mathbb {C} ,z=a+bI,a,b\in \mathbb {R}$ , asi

$e^{ai-b}=e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=e^{b}e^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}{\big (}cos(a)+isen(a){\big )}=e^{b}{\big (}cos(a)-isen(a){\big )}$

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

$e^{-b}sen(a)=-e^{b}sen(a)\Longrightarrow (e^{-b}+e^{b})sen(a)=0\cdots \cdots \cdots \cdots$ (1)

$e^{-b}cos(a)=e^{b}cos(a)\Longrightarrow (e^{-b}-e^{b})cos(a)=0\cdots \cdots \cdots \cdots$ (2)

De (1) se observa que $e^{-b}+e^{b}\not =0$ , por lo que necesariamente $sen(a)=0\Longrightarrow a=0$ , sustituyendo $a$ en (2) se tiene que

$e^{-b}-e^{b}=0\Longrightarrow e^{-b}=e^{b}\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^{b})\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=0$

Para la función coseno tenemos

Si $cos(z)={\frac {1}{2}}(e^{iz}+e^{-iz})=0$ , entonces $e^{iz}=-e^{-iz}$ , luego

$e^{ai-b}=-e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=-e^{b}e^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}{\big (}cos(a)+isen(a){\big )}=-e^{b}{\big (}cos(a)-isen(a){\big )}$

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

$e^{-b}sen(a)=e^{b}sen(a)\Longrightarrow (e^{-b}-e^{b})sen(a)=0\cdots \cdots \cdots \cdots$ (3)

$e^{-b}cos(a)=-e^{b}cos(a)\Longrightarrow (e^{-b}+e^{b})cos(a)=0\cdots \cdots \cdots \cdots$ (4)

De (4) se observa que $e^{-b}+e^{b}\not =0$ , por lo que necesariamente $cos(a)=0\Longrightarrow a={\frac {\pi }{2}}$ , sustituyendo $a$ en (3) se tiene que

$e^{-b}-e^{b}=0\Longrightarrow e^{-b}=e^{b}\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^{b})\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z={\frac {\pi }{2}}$