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==La función exponencial y el logaritmo complejo==
==La función exponencial y el logaritmo complejo==
'''2.27''' Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.
:'''Demostración:'''
Para la función seno tenemos
Si <math>sen(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=0</math>, entonces <math>e^{iz}=e^{-iz}</math>, como <math>z\in\mathbb{C}, z=a+bI, a,b\in\mathbb{R}</math>, asi
<math>e^{ai-b}=e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)</math>
Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
<math>e^{-b}sen(a)=-e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}+e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(1)'''
<math>e^{-b}cos(a)=e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}-e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(2)'''
De '''(1)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>sen(a)=0\Longrightarrow a=0</math>, sustituyendo <math>a</math> en '''(2)''' se tiene que
<math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=0</math>
Para la función coseno tenemos
Si <math>cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=0</math>, entonces <math>e^{iz}=-e^{-iz}</math>, luego
<math>e^{ai-b}=-e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=-e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=-e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)</math>
Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
<math>e^{-b}sen(a)=e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}-e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(3)'''
<math>e^{-b}cos(a)=-e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}+e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(4)'''
De '''(4)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>cos(a)=0\Longrightarrow a=\frac{\pi}{2}</math>, sustituyendo <math>a</math> en '''(3)''' se tiene que
<math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=\frac{\pi}{2}</math>
Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.
--[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 15:47 28 nov 2012 (CST)
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--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Revisión del 16:47 28 nov 2012

La función exponencial y el logaritmo complejo

2.27 Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.

Demostración:

Para la función seno tenemos

Si , entonces , como , asi

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

(1)

(2)

De (1) se observa que , por lo que necesariamente , sustituyendo en (2) se tiene que


Para la función coseno tenemos

Si , entonces , luego

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

(3)

(4)

De (4) se observa que , por lo que necesariamente , sustituyendo en (3) se tiene que

Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 15:47 28 nov 2012 (CST)


--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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