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==La función exponencial y el logaritmo complejo==
 
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'''2.27''' Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.
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:'''Demostración:'''
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Para la función seno tenemos
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Si <math>sen(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=0</math>, entonces <math>e^{iz}=e^{-iz}</math>, como <math>z\in\mathbb{C}, z=a+bI, a,b\in\mathbb{R}</math>, asi
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<math>e^{ai-b}=e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)</math>
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Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
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<math>e^{-b}sen(a)=-e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}+e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(1)'''
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<math>e^{-b}cos(a)=e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}-e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(2)'''
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De '''(1)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>sen(a)=0\Longrightarrow a=0</math>, sustituyendo <math>a</math> en '''(2)''' se tiene que
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<math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=0</math>
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Para la función coseno tenemos
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Si <math>cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=0</math>, entonces <math>e^{iz}=-e^{-iz}</math>, luego
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<math>e^{ai-b}=-e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=-e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=-e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)</math>
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Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones
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<math>e^{-b}sen(a)=e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}-e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(3)'''
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<math>e^{-b}cos(a)=-e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}+e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots</math> '''(4)'''
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De '''(4)''' se observa que <math>e^{-b}+e^b\not=0</math>, por lo que necesariamente <math>cos(a)=0\Longrightarrow a=\frac{\pi}{2}</math>, sustituyendo <math>a</math> en '''(3)''' se tiene que
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<math>e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=\frac{\pi}{2}</math>
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Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.
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Revisión del 16:47 28 nov 2012

La función exponencial y el logaritmo complejo

2.27 Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.

Demostración:

Para la función seno tenemos

Si \(sen(z)=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})=0\), entonces \(e^{iz}=e^{-iz}\), como \(z\in\mathbb{C}, z=a+bI, a,b\in\mathbb{R}\), asi

\(e^{ai-b}=e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)\)

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

\(e^{-b}sen(a)=-e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}+e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (1)

\(e^{-b}cos(a)=e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}-e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (2)

De (1) se observa que \(e^{-b}+e^b\not=0\), por lo que necesariamente \(sen(a)=0\Longrightarrow a=0\), sustituyendo \(a\) en (2) se tiene que

\(e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=0\)


Para la función coseno tenemos

Si \(cos(z)=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})=0\), entonces \(e^{iz}=-e^{-iz}\), luego

\(e^{ai-b}=-e^{-ai+b}\Longrightarrow e^{-b}e^{ai}=-e^be^{-ai}\Longrightarrow e^{-b}\big(cos(a)+isen(a)\big)=-e^b\big(cos(a)-isen(a)\big)\)

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

\(e^{-b}sen(a)=e^bsen(a)\Longrightarrow (e^{-b}-e^b)sen(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (3)

\(e^{-b}cos(a)=-e^bcos(a)\Longrightarrow(e^{-b}+e^b)cos(a)=0\cdots\cdots\cdots\cdots\) (4)

De (4) se observa que \(e^{-b}+e^b\not=0\), por lo que necesariamente \(cos(a)=0\Longrightarrow a=\frac{\pi}{2}\), sustituyendo \(a\) en (3) se tiene que

\(e^{-b}-e^b=0\Longrightarrow e^{-b}=e^b\Longrightarrow Ln(e^{-b})=Ln(e^b)\Longrightarrow -b=b\Longrightarrow b=0\Longrightarrow z=\frac{\pi}{2}\)

Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 15:47 28 nov 2012 (CST)


--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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