Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap2.3»

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2.31. Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como sigue
<math>senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})</math>:
<math>coshz = \frac{1}{2}(e^z+e^{-z})</math>:
<math>tanhz= \frac{senhz}{coshz}</math>:
<math>cothz=\frac{coshz}{senhz}</math>:
<math>sechz=\frac{1}{coshz}</math>:
<math>cschz=\frac{1}{senhz}.</math>:
1. Observe que senhz y coshz son holomorfas en todo C. Encuentre los mayores
dominios donde las otras funciones hiperbólicas anteriores son holomorfas
2. Obtenga expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas.
3. Demuestre las identidades siguientes:
<math>Cosh^2z-senh^2z = 1 cosz = coshiz i  sen z = senhiz</math>:
4. Demuestre las identidades siguientes:
<math>senh(a+b) = senhacoshb+coshasenhb</math>
<math>cosh(a+b) = coshacoshb+senhasenhb</math>
<math>cos z = cos xcoshy+isen xsenhy</math>
<math>sen z = sen xcoshy+icos xsenhy</math>
donde <math>z = x+iy.</math>
2.-
<math>senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})</math>
Usando la definición de <math>senhz</math> tenemos: 
<math>(Senhz)´= (\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z-e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}] y por</math>
recordando que <math>coshz = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}]</math>
entonces se tiene que <math>(Senhz)´= coshz</math>
<math>coshz = \frac{1}{2}(e^z+e^{-z})</math>
Procedemos de manera similar, derivando la definición de <math>coshz</math>.
<math>(Coshz)´=  (\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z+e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}] y por</math>
recordando que <math>senhz = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}]</math>
entonces se tiene que <math>(Coshz)´= senhz</math>
Para la tangente hiperbólica se tiene,
<math>tanhz= \frac{senhz}{coshz}</math>
Por definición del senhz y coshz podemos obtener:
<math>tanhz= \frac{senhz}{coshz}= \frac{e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}}</math>
Derivando,
<math>(tanhz)´= (\frac{(e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}})´</math>
<math>= \frac{(e^z+e{-z})(e^z+e^{-z})-(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})}{(e^z+e^{-z})^2}</math>
Desarrollando y eliminando términos;
<math>= \frac{2+2}{(e^z+e^{-z})^2} = \frac{4}{(e^z+e^{-z})^2}</math>
Usando el hecho de que (2coshz)^2 = (e^2+e^{-2})^2 y sustituyendo; se obtiene.
<math>= \frac{4}{4cos^2hz} = \frac{1}{1cos^2hz}.</math>
<math>cothz=\frac{coshz}{senhz}</math>
Usando la definición de senhz y coshz se tiene:
<math>Cothz = \frac{e^z+e^{-z}){ e^z-e^{-z}}</math>
<math>(cothz)´= \frac{(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})-(e^z+e^{-z})(e^z+e^{-z})}</math>
Desarrollando y eliminando términos, obtenemos.
<math>=\frac{-2-2}{(e^z-e^{-z})^2} = \frac{-4}{4senh^2z} = \frac{-1}{1senh^2z}</math>
El último termino se obtuvo utilizando la identidad de senhz.
<math>sechz=\frac{1}{coshz}</math>
<math>\frac{1}{coshz}= \frac{1}{frac{e^z-e^{-z}}{2}} = \frac{2}{e^z+e^{-z}}</math>
Derivando la última expresión tenemos.
<math>= \frac{-2(e^z-e^{-z})}{(e^z+e^{-z})^2}</math>
Usando el hecho de que  2coshz= e^z+e^{-z} y sustituyendo dentro de la ecuación anterior.
<math>=\frac{-2(e^z-e^{-z})}{4cosh^2z}</math>
<math>= \frac{-4senhz}{4cosh^2z}= \frac{-tanhz}{coshz} = -tanhz sechz ; dado que \frac{1}{coshz} = sechz.</math>
<math>cschz=\frac{1}{senhz}.</math>
<math>\frac{1}{senhz}= \frac{2}{e^z-e^{-z}}</math>
Derivando el cschz se tiene que,
<math>(cschz)´= \frac{-2(e^z+e^{-z}}{(e^z-e^{-z})^2} =</math>
Usando las identidades de senhz y coshz se tiene:
<math>\frac{-2(2coshz)}{(2senhz)^2} = \frac{-4coshz}{4senh^2z}= \frac{coshz}{senh^2z}</math>
4.- Identidades
<math>senh(a+b) = senhacoshb+coshasenhb</math>
Por definición tenemos que: <math>senhx = \frac{e^x-e^{-x}}{2}</math> y <math>cosnhy = \frac{e^y+e^{-y}}{2}</math>
<math>Senhacoshb +coshasenhb = (\frac{e^a-e^{-a}}{2})(\frac{e^b+e^{-b}}{2})+(\frac{e^a+e^{-a}}{2})(\frac{e^b-e^{-b}}{2})</math>
<math>= \frac{1}{4}(e^{a+b}+ e^{a-b}- e^{-a+b}- e^{-a-b}+ e^{a+b}- e^{a-b}+ e^{-a+b}- e^{-a-b})</math>
Se eliminan algunos términos y obtenemos,
<math>= \frac{1}{4}(2e^{a+b}-2e^{-a-b}) = \frac{1}{2</math>}(e^{a+b}-e^{-a-b} = senh(a+b)
<math>cosh(a+b) = coshacoshb+senhasenhb</math>
Usando las definiciones, vemos que:
<math>coshacoshb +senhasenhb = (\frac{e^a+e^{-a}}{2})(\frac{e^b+e^{-b}}{2})+(\frac{e^a-e^{-a}}{2})(\frac{e^b</math>-e^{-b}}{2})
<math>= \frac{1}{4}(e^{a+b}+ e^{a-b}+ e^{-a+b}+ e^{-a-b}+ e^{a+b}- e^{a-b}- e^{-a+b}+ e^{-a-b})</math>
Se eliminan algunos términos y obtenemos,
<math>= \frac{1}{4}(2e^{a+b}+2e^{-(a+b)}) = \frac{1}{2}(e^{a+b}+e^{-(a+b)} = cosh(a+b)</math>
<math>senhz = cos xcoshy+isen xsenhy</math>
Sea <math>z=x+iy</math>
<math>senhz=\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}= \frac{e^{xi-y}-e^{-xi+y}}{2i}</math>
<math>= \frac{e^{-y}}{2i}(cosx+isenx)-\frac{e^{y}}{2i}(cosx-isenx)</math>
<math>= senx(\frac{e^{-y}+e^y}{2})+icosx(\frac{e^{-y}-e^y}{2})</math>
Y por definición del <math>senh</math> y <math>cosh</math> se tiene:
<math>=senxcoshy+icosxsenhy</math>
<math>senhz  = senxcoshy+icosxsenhy</math>
Por demostrar.
<math>Coshz = cosxcoshy-isenxsenhy.</math>
Sea <math>z=x+iy</math>
<math>coshz=\frac{e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}}{2i}= \frac{e^{xi-y}+e^{-xi+y}}{2i}</math>
<math>= \frac{e^{-y}}{2i}(cosx+isenx)-\frac{e^{y}}{2i}(cosx-isenx)</math>
<math>= cosx(\frac{e^{-y}+e^y}{2})+isenx(\frac{e^{-y}-e^y}{2})</math>
Y por definición del <math>senh</math> y <math>cosh</math> se tiene:
<math>=cosxcoshy+isenxsenhy</math>
<math>\therefore</math>  <math>coshz = cosxcoshy+isenxsenhy</math>
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 07:10 29 nov 2012 (CST)
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--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Revisión del 08:31 29 nov 2012

La función exponencial y el logaritmo complejo

2.27 Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.

Demostración:

Para la función seno tenemos

Si , entonces , como , asi

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

(1)

(2)

De (1) se observa que , por lo que necesariamente , sustituyendo en (2) se tiene que


Para la función coseno tenemos

Si , entonces , luego

Al separar las partes reales e imaginarias, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

(3)

(4)

De (4) se observa que , por lo que necesariamente , sustituyendo en (3) se tiene que

Por lo tanto, el cero de las fuciones seno y coseno complejas son las mismas que el de las funciónes reales correspondientes.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 15:47 28 nov 2012 (CST)


2.28 Concluya del ejercicio anterior que las funciones complejas y , son periódicas con periodos reales de la forma con . Es decir,sus dominios de periocidad son banda verticales de ancho .

Del ejercicio anterior, se concluyó, para la función seno, que si , con , entonces & , de donde , es decir,

es puramente real, de la forma , cuyo ancho de banda es .

Para el caso del coseno, se concluyó que si , entonces & , nuevamente es puramente real, de la forma . cuyo ancho de banda es

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 16:06 28 nov 2012 (CST)


2.31. Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como sigue : : : : : :

1. Observe que senhz y coshz son holomorfas en todo C. Encuentre los mayores dominios donde las otras funciones hiperbólicas anteriores son holomorfas 2. Obtenga expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas. 3. Demuestre las identidades siguientes: :

4. Demuestre las identidades siguientes:

donde

2.-


Usando la definición de tenemos:

Error al representar (error de sintaxis): (Senhz)´= (\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z-e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}] y por

recordando que

entonces se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (Senhz)´= coshz


Procedemos de manera similar, derivando la definición de .

Error al representar (error de sintaxis): (Coshz)´= (\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z+e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}] y por

recordando que

entonces se tiene que Error al representar (error de sintaxis): (Coshz)´= senhz

Para la tangente hiperbólica se tiene,

Por definición del senhz y coshz podemos obtener:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle tanhz= \frac{senhz}{coshz}= \frac{e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}}}

Derivando,

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (tanhz)´= (\frac{(e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}})´}

Desarrollando y eliminando términos;

Usando el hecho de que (2coshz)^2 = (e^2+e^{-2})^2 y sustituyendo; se obtiene.

Usando la definición de senhz y coshz se tiene:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Cothz = \frac{e^z+e^{-z}){ e^z-e^{-z}}}

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (cothz)´= \frac{(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})-(e^z+e^{-z})(e^z+e^{-z})}}

Desarrollando y eliminando términos, obtenemos.

El último termino se obtuvo utilizando la identidad de senhz.



Derivando la última expresión tenemos.

Usando el hecho de que 2coshz= e^z+e^{-z} y sustituyendo dentro de la ecuación anterior.


Derivando el cschz se tiene que,

Error al representar (error de sintaxis): (cschz)´= \frac{-2(e^z+e^{-z}}{(e^z-e^{-z})^2} =

Usando las identidades de senhz y coshz se tiene:

4.- Identidades

Por definición tenemos que: y

Se eliminan algunos términos y obtenemos,

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \frac{1}{4}(2e^{a+b}-2e^{-a-b}) = \frac{1}{2} }(e^{a+b}-e^{-a-b} = senh(a+b)


Usando las definiciones, vemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle coshacoshb +senhasenhb = (\frac{e^a+e^{-a}}{2})(\frac{e^b+e^{-b}}{2})+(\frac{e^a-e^{-a}}{2})(\frac{e^b} -e^{-b}}{2})

Se eliminan algunos términos y obtenemos,


Sea

Y por definición del y se tiene:

Por demostrar.

Sea

Y por definición del y se tiene:

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:10 29 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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