Compleja:z-ej-cap2.2

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Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.

Demostración:

Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces

Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.

Por lo tanto es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)


2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.

Demostración

Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)


2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta , pero no es holomorfa.

Sea y tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}}

Desarrollando los binomios, se eliminan los

Se obtiene:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}}

Reagrupando:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to 0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).}

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} } Eliminando, se obtiene que: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})} Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy } existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ Sea u=x^2 y v=y^2 Y no se cumple y por lo tanto no son holomorfas

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)




2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas

Solucion:
Sea donde:

Derivando parcialmente:

:

Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann


2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas Solucion: Entonces:

Si z=0
Si z \ne 0
Si tenemos:
Si entonces:
como

--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)



2.16. Si es holomorfa, es de la forma , demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.

Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación

con la que nos damos cuenta que las exponenciales combinadas con dos variables cumplen esta condición de igual forma los polinomios, pero al aplicar la segunda ecuación

vemos que la exponencial ya no cumple, pero los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a x se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)



2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.

Sea

a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que

b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)


2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.

Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.

Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.

Así que tenemos que
y, por lo tanto, .

Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .

--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)



2.27. Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.

Esto se puede demostrar tomando al seno y coseno complejo con De manera que;

Así,


--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:57 29 nov 2012 (CST)


2.31. Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como sigue : : : : : :

1. Observe que senhz y coshz son holomorfas en todo C. Encuentre los mayores dominios donde las otras funciones hiperbólicas anteriores son holomorfas 2. Obtenga expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas. 3. Demuestre las identidades siguientes: :

4. Demuestre las identidades siguientes:

donde

2.-


Usando la definición de tenemos:

Error al representar (error de sintaxis): (Senhz)´= (\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z-e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}] y por

recordando que

entonces se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (Senhz)´= coshz


Procedemos de manera similar, derivando la definición de .

Error al representar (error de sintaxis): (Coshz)´= (\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z+e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}] y por

recordando que

entonces se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (Coshz)´= senhz

Para la tangente hiperbólica se tiene,

Por definición del senhz y coshz podemos obtener:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle tanhz= \frac{senhz}{coshz}= \frac{e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}}}

Derivando,

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (tanhz)´= (\frac{(e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}})´}

Desarrollando y eliminando términos;

Usando el hecho de que (2coshz)^2 = (e^2+e^{-2})^2 y sustituyendo; se obtiene.

Usando la definición de senhz y coshz se tiene:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle Cothz = \frac{e^z+e^{-z}){ e^z-e^{-z}}}

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (cothz)´= \frac{(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})-(e^z+e^{-z})(e^z+e^{-z})}}

Desarrollando y eliminando términos, obtenemos.

El último termino se obtuvo utilizando la identidad de senhz.



Derivando la última expresión tenemos.

Usando el hecho de que 2coshz= e^z+e^{-z} y sustituyendo dentro de la ecuación anterior.


Derivando el cschz se tiene que,

Error al representar (error de sintaxis): (cschz)´= \frac{-2(e^z+e^{-z}}{(e^z-e^{-z})^2} =

Usando las identidades de senhz y coshz se tiene:

4.- Identidades

Por definición tenemos que: y

Se eliminan algunos términos y obtenemos,

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \frac{1}{4}(2e^{a+b}-2e^{-a-b}) = \frac{1}{2} }(e^{a+b}-e^{-a-b} = senh(a+b)


Usando las definiciones, vemos que:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle coshacoshb +senhasenhb = (\frac{e^a+e^{-a}}{2})(\frac{e^b+e^{-b}}{2})+(\frac{e^a-e^{-a}}{2})(\frac{e^b} -e^{-b}}{2})

Se eliminan algunos términos y obtenemos,


Sea

Y por definición del y se tiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \therefore<\math> <math>senhz = senxcoshy+icosxsenhy}

Por demostrar.

Sea

Y por definición del y se tiene:

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:10 29 nov 2012 (CST)


2.34. Muestre que la imagen bajo la exponencial de la recta , para es una espiral logarítmica y bosqueje su imagen.

Sea entonces

hacemos a entonces

con lo que comparamos y nos queda la solución

nota: la parte imaginaria de z en realidad se le suma donde k es cualquier entero.


Para el bosquejo simplemente se sustituye el valor de z en la exponencial compleja, y al pasarlas al plano uv, se puede graficar la espiral al valores a las siguientes componentes.

Archivo:Espiral.png

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)



3.35 muestre que la función u del ejemplo 2.9 no tiene conjugada armónica. Sea

buscamos una función v tal que


por lo que para encontrar la v integramos respecto a y:

pero para verificar que es la buena veremos que cumpla con la condición de la segunda ecuación de Cauchy-Riemann

De igual forma integramos para obtener la v, pero ahora con respecto a x


como vemos los argumentos de la función no son iguales ni tampoco salió el signo negativo, por lo tanto la función no tiene armónica conjugada.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)




--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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