Compleja:z-ej-cap2.2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ es una región, defina $\Omega ^{*}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \Omega \}$ . Si $f:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ es holomorfa, defina $f^{*}:\Omega ^{*}\longrightarrow \mathbb {C}$ mediante $f^{*}(z)={\overline {f({\bar {z}})}}$ . Demuestre que $f^{*}$ es holomorfa.

Demostración:

Sea $z\in \Omega ,w\in \Omega ^{*}$ , entonces ${\bar {w}}\in \Omega$ , tomando ${\bar {w}}=z=a+bi$ . Definimos $A(a,b),B(a,b):\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ funciones diferenciables tales que $f(z)=A(a,b)+B(a,b)i$ , con lo cual $f$ es holomorfa, entonces

$f^{*}(w)={\overline {f({\bar {w}})}}={\overline {f(z)}}={\overline {A(a,b)+B(a,b)i}}=A(a,b)+{\big (}-B(a,b){\big )}i$ Como $B(a,b)$ es diferenciable, entonces $-B(a,b)$ tambien lo es, luego $f^{*}$ es diferenciable.

Por lo tanto $f^{*}$ es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)

2.10 Si $\Omega =\Omega ^{*}$ observe que $\Omega$ es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función $g:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ dada por $g(z):=f(z)-f^{*}(z)$ es holomorfa.

Demostración

Del ejercicio anterior se tiene que si $f(z)$ es holomorfa, entonces $f^{*}(z)$ es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego $g(z)$ es diferenciable, por lo tanto $g(z)$ es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)

2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas $f=u+iv{\textrm {con}}u(x,y)=x^{2}-y^{2}$

Solucion:

Sea

f(z)=z^{9}2\Rightarrow {(u+iv)^{2}}=u^{2}+2iuv-v^{2}

donde:

$u(x,y)=x^{2}-y^{2}\land v(x,y)=2xy$

Derivando parcialmente:

$u_{x}(x,y)=2x\land u_{y}(x,y)=-2y$ : $v_{x}(x,y)=2y\land v_{y}(x,y)=2x$

Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann

2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas $f=u+iv{\textrm {con}}u(x,y)=x^{2}+y^{2}$ Solucion: $f(z)=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}{\textrm {i.e.}}f(x+iy)=x^{2}+y^{2}$ Entonces:

Si z=0

f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h{\overline {h}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\overline {h}}=0

Si z \ne 0

f'(z)=\lim _{h\to 0}\ frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim _{h\to 0}{\frac {|z+h|^{2}-|z|^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h){\overline {(z+h)}}-z{\overline {z}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {z{\overline {h}}+h{\overline {z}}+h{\overline {h}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {z{\overline {h}}}{h}}+{\overline {z}}+{\overline {h}}

Si

h\in \mathbb {R}

tenemos:

\lim _{h\to 0}\ frac{f(z+h)-f(z)}{h}={\overline {z}}+z

Si

h=ir{\textrm {con}}r>0

entonces:

\lim _{h\to 0}\ frac{f(z+h)-f(z)}{h}={\overline {z}}-z

como

z\neq 0\Rightarrow {\overline {z}}+z\neq {\overline {z}}-z

\therefore f(z){\textrm {noesdiferenciableen}}z\neq 0

--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)

2.17. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $u$ es constante, desmuestre que $f$ es constante. Similarmente, si $v$ es constante, entonces $f$ es constante.

Sea $f=u+iv$

a) $u(x,y)=Ref(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$ .
Lo que implica que $v(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

b) $v(x,y)=Imf(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$ .
Y por las condiciones C-R ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ .
Por tanto $u(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)

2.18. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $|f|$ es constante, desmuestre que $f$ es constante.

Si $|f(z)|=C\Rightarrow |f(z)|^{2}=f(z){\overline {f(z)}}=C^{2}$ y, por tanto,
${\overline {f(z)}}={\frac {C^{2}}{f(z)}}$ .
Como el lado derecho es una función holomorfa, $\Rightarrow {\overline {f(z)}}$ es holomorfa.

Ahora, como ${\overline {f(z)}}=u-iv,$ las condiciones de C-R se traducen en:
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$ ,
y las mismas condiciones sobre $f(z)$ implican
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$ .

Así que tenemos que ${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial y}}=0$
y, por lo tanto, ${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$ .

Análogamente, ${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial x}}=0$ y ${\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ .
Entonces $u$ y $v$ son constantes y por tanto $f(z)={\mbox{ constante}}$ .