Compleja:z-ej-cap2.2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ es una región, defina $\Omega ^{*}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \Omega \}$ . Si $f:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ es holomorfa, defina $f^{*}:\Omega ^{*}\longrightarrow \mathbb {C}$ mediante $f^{*}(z)={\overline {f({\bar {z}})}}$ . Demuestre que $f^{*}$ es holomorfa.

Demostración:

Sea $z\in \Omega ,w\in \Omega ^{*}$ , entonces ${\bar {w}}\in \Omega$ , tomando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \bar w=z=a+bi . Definimos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A(a,b),B(a,b):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} funciones diferenciables tales que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=A(a,b)+B(a,b)i , con lo cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f es holomorfa, entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^*(w)=\overline{f(\bar w)}=\overline{f(z)}=\overline{A(a,b)+B(a,b)i}=A(a,b)+\big(-B(a,b)\big)i Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): B(a,b) es diferenciable, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -B(a,b) tambien lo es, luego Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^* es diferenciable.

Por lo tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^* es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)

2.10 Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega=\Omega^* observe que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C} dada por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g(z):=f(z)-f^*(z) es holomorfa.

Demostración

Del ejercicio anterior se tiene que si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z) es holomorfa, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^*(z) es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g(z) es diferenciable, por lo tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g(z) es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)

2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2

Solucion:

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=z^92 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 donde:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy

Derivando parcialmente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y : Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x

Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann

2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 Solucion: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)= |z|^2 = x^2+y^2 \textrm{ i.e. } f(x+iy)=x^2+y^2 Entonces:

Si z=0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \overline{h} = 0

Si z \ne 0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f' (z)= \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h} + \overline{z} + \overline{h}

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): h\in \mathbb{R} tenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): h=ir \textrm{ con } r>0 entonces:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z

como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0

--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)

2.17. Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f:\Omega \to \mathbb{C} es holomorfa, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega una región y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u es constante, desmuestre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f es constante. Similarmente, si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v es constante, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f es constante.

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f=u+iv

a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): u(x,y)=Re f(z) = \mbox{ constante }, por lo tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0 .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0 .
Lo que implica que $v(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

b) $v(x,y)=Imf(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$ .
Y por las condiciones C-R ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ .
Por tanto $u(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)

2.18. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $|f|$ es constante, desmuestre que $f$ es constante.

Si $|f(z)|=C\Rightarrow |f(z)|^{2}=f(z){\overline {f(z)}}=C^{2}$ y, por tanto,
${\overline {f(z)}}={\frac {C^{2}}{f(z)}}$ .
Como el lado derecho es una función holomorfa, $\Rightarrow {\overline {f(z)}}$ es holomorfa.

Ahora, como ${\overline {f(z)}}=u-iv,$ las condiciones de C-R se traducen en:
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$ ,
y las mismas condiciones sobre $f(z)$ implican
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$ .

Así que tenemos que ${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial y}}=0$
y, por lo tanto, ${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$ .

Análogamente, ${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial x}}=0$ y ${\frac {\partial u}{\partial y}}=0$ .
Entonces $u$ y $v$ son constantes y por tanto $f(z)={\mbox{ constante}}$ .