Compleja:z-ej-cap2.2

De luz-wiki

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si \(\Omega\subseteq\mathbb{C}\) es una región, defina \(\Omega^*:=\{z\in\mathbb{C} : \bar z\in\Omega\}\). Si \(f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}\) es holomorfa, defina \(f^*:\Omega^*\longrightarrow\mathbb{C}\) mediante \(f^*(z)=\overline{f(\bar z)}\). Demuestre que \(f^*\) es holomorfa.

Demostración:

Sea \(z\in\Omega, w\in\Omega^*\), entonces \(\bar w\in\Omega\), tomando \(\bar w=z=a+bi\). Definimos \(A(a,b),B(a,b):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}\) funciones diferenciables tales que \(f(z)=A(a,b)+B(a,b)i\), con lo cual \(f\) es holomorfa, entonces

\(f^*(w)=\overline{f(\bar w)}=\overline{f(z)}=\overline{A(a,b)+B(a,b)i}=A(a,b)+\big(-B(a,b)\big)i\) Como \(B(a,b)\) es diferenciable, entonces \(-B(a,b)\) tambien lo es, luego \(f^*\) es diferenciable.

Por lo tanto \(f^*\) es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)


2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas \( f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2\)

Solucion:
Sea \( f(z)=z^92 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 \) donde\[u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy\]
Derivando parcialmente\[ u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y \]\[ v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x \]
Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann


2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas \( f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 \) Solucion\[ f(z)= |z|^2 = x^2+y^2 \textrm{ i.e. } f(x+iy)=x^2+y^2 \] Entonces:

Si z=0

\[f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \overline{h} = 0 \]

Si z \ne 0

\[ f' (z)= \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h} + \overline{z} + \overline{h} \]

Si \( h\in \mathbb{R} \) tenemos:
\[ \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z \]
Si \( h=ir \textrm{ con } r>0 \) entonces:
\[ \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z \]
como \( z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z \)

\[ \therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0 \] --Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)




2.17. Si \(f:\Omega \to \mathbb{C}\) es holomorfa, \(\Omega\) una región y \(u\) es constante, desmuestre que \(f\) es constante. Similarmente, si \(v\) es constante, entonces \(f\) es constante.

Sea \(f=u+iv\)

a) \(u(x,y)=Re f(z) = \mbox{ constante }, \) por lo tanto \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \).
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) \(\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \).
Lo que implica que \(v(x,y)= \mbox{ constante } \Rightarrow f(z)= \mbox{ constante }.\)

b) \(v(x,y)=Im f(z) = \mbox{ constante }, \) por lo tanto \(\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \).
Y por las condiciones C-R \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \).
Por tanto \(u(x,y)= \mbox{ constante } \Rightarrow f(z)= \mbox{ constante }.\)

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)


2.18. Si \(f:\Omega \to \mathbb{C}\) es holomorfa, \(\Omega\) una región y \(|f|\) es constante, desmuestre que \(f\) es constante.

Si \(|f(z)|=C \Rightarrow |f(z)|^2=f(z)\overline{f(z)}=C^2\) y, por tanto,
\(\overline{f(z)}=\frac{C^2}{f(z)}\).
Como el lado derecho es una función holomorfa, \(\Rightarrow \overline{f(z)}\) es holomorfa.

Ahora, como \(\overline{f(z)}=u-iv,\) las condiciones de C-R se traducen en:
\(\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}\\ \end{cases}\),
y las mismas condiciones sobre \(f(z)\) implican
\(\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ \end{cases}\).

Así que tenemos que \(\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial y} =0 \)
y, por lo tanto, \(\frac{\partial u}{\partial x} = 0 \).

Análogamente, \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow \frac{\partial v}{\partial x} =0 \) y \(\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \).
Entonces \(u\) y \(v\) son constantes y por tanto \(f(z) = \mbox{ constante}\).

--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)


--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2

Compleja:z-ej-cap1.3

Compleja:z-ej-cap1.4

Compleja:z-ej-cap2.1