Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap2.2»
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2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+ | '''2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+iv(y) </math>, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.''' | ||
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación | Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación | ||
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<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> | ||
Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial )puede ser ya que por ejemplo: | |||
<math>Sin\left[x\right]\neq Sin\left[y\right] </math> | |||
lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si <math>u=ax^{2} </math> y <math>v=by^{2} </math> entonces | |||
<math>\frac{\text{\ensuremath{\partial}}u}{\text{\ensuremath{\partial}}x}=2ax </math> y <math>\frac{\text{\ensuremath{\partial}}v}{\text{\ensuremath{\partial}}y}=2by</math> | |||
lo que significa que son iguales solo en ciertas condiciones. Además debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} </math> | <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} </math> | ||
vemos que | vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado. | ||
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST) | --[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST) |
Revisión del 15:46 3 dic 2012
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.
- Demostración:
Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces
Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.
Por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.
- Demostración
Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)
2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta en , pero no es holomorfa.
Sea y tenemos que:
Desarrollando los binomios, se eliminan los y los y queda
Reagrupando:
Eliminando, se obtiene que: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{h \to 0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}).} Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy } existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ Sea Y no se cumple y por lo tanto no son holomorfas
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)
2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann?
1) : 2) : 3) :
Se debe de cumplir que: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ : Y: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ : Para : Siendo, y : las derivadas parciales son: : : Y: : Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = -2y :
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para :
Siendo, y : : : Y: : Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = 6xy : no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.: Para : Siendo, : : : Y: : Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = \frac{y}{x^2+y^2} : se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:23 29 nov 2012 (CST)
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas Solucion: Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- Si tenemos:
- como
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.16. Si es holomorfa, es de la forma , demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación
Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial )puede ser ya que por ejemplo:
lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si y entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\text{\ensuremath{\partial}}u}{\text{\ensuremath{\partial}}x}=2ax y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\text{\ensuremath{\partial}}v}{\text{\ensuremath{\partial}}y}=2by
lo que significa que son iguales solo en ciertas condiciones. Además debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación:
vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
2.34. Muestre que la imagen bajo la exponencial de la recta , para es una espiral logarítmica y bosqueje su imagen.
Sea entonces
hacemos a entonces
con lo que comparamos y nos queda la solución
nota: la parte imaginaria de z en realidad se le suma donde k es cualquier entero.
Para el bosquejo simplemente se sustituye el valor de z en la exponencial compleja, y al pasarlas al plano uv, se puede graficar la espiral al valores a las siguientes componentes.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)
3.35 muestre que la función u del ejemplo 2.9 no tiene conjugada armónica. Sea
buscamos una función v tal que
por lo que para encontrar la v integramos respecto a y:
pero para verificar que es la buena veremos que cumpla con la condición de la segunda ecuación de Cauchy-Riemann
De igual forma integramos para obtener la v, pero ahora con respecto a x
como vemos los argumentos de la función no son iguales ni tampoco salió el signo negativo, por lo tanto la función no tiene armónica conjugada.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)