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| ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== | | ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== |
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| | '''2.9''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región, defina <math>\Omega^*:=\{z\in\mathbb{C} : \bar z\in\mathbb{C}\}</math>. Si <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es holomorfa, defina <math>f^*:\Omega^*\longrightarrow\mathbb{C}</math> mediante <math>f^*(z)=\overline{f(\bar z)}</math>. Demuestre que <math>f^*</math> es holomorfa. |
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| | :'''Demostración:''' |
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| | Sea <math>z\in\Omega, w\in\Omega^*</math>, con <math>w=\bar z</math>, <math>z=a+bi</math>. Definimos <math>A(a,b),B(a,b):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}</math> funciones diferenciables tales que <math>f(z)=A(a,b)+B(a,b)i</math>, con lo cual <math>f</math> es holomorfa, entonces |
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| | <math>f^*(w)=\overline{f(\bar w)}=\overline{f(z)}=\overline{A(a,b)+B(a,b)i}=A(a,b)+\big(-B(a,b)\big)i</math> Como <math>B(a,b)</math> es diferenciable, entonces <math>-B(a,b)</math> tambien lo es, luego <math>f^*</math> es diferenciable. |
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| | Por lo tanto <math>f^*</math> es holomorfa. |
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| | --[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 00:29 28 nov 2012 (CST) |
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| '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' | | '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' |
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.
- Demostración:
Sea , con , . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces
Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.
Por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- como
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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