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| ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== | | ==Las ecuaciones de Cauchy-Riemann== |
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| | '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' |
| | :Solucion: |
| | :Sea <math> f(z)=z^92 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 </math> donde: |
| | <math>u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy</math> |
| | :Derivando parcialmente: |
| | <math> u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y </math>: |
| | <math> v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x </math> |
| | :Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann |
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| '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 </math>''' | | '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 </math>''' |
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas
- Solucion:
- Sea donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- como
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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