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'''2.9''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región, defina <math>\Omega^*:=\{z\in\mathbb{C} : \bar z\in\Omega\}</math>. Si <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es holomorfa, defina <math>f^*:\Omega^*\longrightarrow\mathbb{C}</math> mediante <math>f^*(z)=\overline{f(\bar z)}</math>. Demuestre que <math>f^*</math> es holomorfa.
'''2.9''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región, defina <math>\Omega^*:=\{z\in\mathbb{C} : \bar z\in\Omega\}</math>. Si <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es holomorfa, defina <math>f^*:\Omega^*\longrightarrow\mathbb{C}</math> mediante <math>f^*(z)=\overline{f(\bar z)}</math>. Demuestre que <math>f^*</math> es holomorfa.


:'''Demostración:'''
'''Demostración:'''


Sea <math>z\in\Omega, w\in\Omega^*</math>, entonces <math>\bar w\in\Omega</math>, tomando <math>\bar w=z=a+bi</math>. Definimos <math>A(a,b),B(a,b):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}</math> funciones diferenciables tales que <math>f(z)=A(a,b)+B(a,b)i</math>, con lo cual <math>f</math> es holomorfa, entonces
Sea <math>z\in\Omega, w\in\Omega^*</math>, entonces <math>\bar w\in\Omega</math>, tomando <math>\bar w=z=a+bi</math>. Definimos <math>A(a,b),B(a,b):\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}</math> funciones diferenciables tales que <math>f(z)=A(a,b)+B(a,b)i</math>, con lo cual <math>f</math> es holomorfa, entonces
Línea 11: Línea 11:
Por lo tanto <math>f^*</math> es holomorfa.
Por lo tanto <math>f^*</math> es holomorfa.


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'''2.10'''  Si <math>\Omega=\Omega^*</math> observe que <math>\Omega</math> es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función <math>g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> dada por <math>g(z):=f(z)-f^*(z)</math> es holomorfa.
'''2.10'''  Si <math>\Omega=\Omega^*</math> observe que <math>\Omega</math> es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función <math>g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> dada por <math>g(z):=f(z)-f^*(z)</math> es holomorfa.


:'''Demostración'''
'''Demostración'''


Del ejercicio anterior se tiene que si <math>f(z)</math> es holomorfa, entonces <math>f^*(z)</math> es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición '''2.1''' la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego <math>g(z)</math> es diferenciable, por lo tanto <math>g(z)</math> es holomorfa.
Del ejercicio anterior se tiene que si <math>f(z)</math> es holomorfa, entonces <math>f^*(z)</math> es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición '''2.1''' la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego <math>g(z)</math> es diferenciable, por lo tanto <math>g(z)</math> es holomorfa.


--[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 01:01 28 nov 2012 (CST)
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'''2.12. Muestre que la función <math> f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f(z) = x^2 +iy^2 </math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x</math> en <math>\mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.'''
'''2.12. Muestre que la función <math> f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f(z) = x^2 +iy^2 </math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x</math> en <math>\mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.'''
'''Demostración:'''


Sea <math>h=x_{0}+iy_{0}</math> y <math>z=x+iy</math> tenemos que:
Sea <math>h=x_{0}+iy_{0}</math> y <math>z=x+iy</math> tenemos que:
Línea 31: Línea 33:
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}</math>
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}</math>


Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2</math>y los <math> iy^2.</math> y queda <math> lim_{h \to 0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}.</math>
Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2</math>y los <math> iy^2.</math> y queda  
 
<math> lim_{h \to 0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}.</math>


Reagrupando:  
Reagrupando:  
<math>= lim_{h \to 0} \frac{(x_{0}(2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0})}{x_{0}+iy_{0}}.</math>  
<math>= lim_{h \to 0} \frac{(x_{0}(2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0})}{x_{0}+iy_{0}}.</math>  


Línea 43: Línea 48:


Eliminando, se obtiene que:
Eliminando, se obtiene que:
<math>= \lim_{h \to 0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}).</math>
 
<math>= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy </math>
$= \lim_{h \to 0} (2x+x_{0})(2y+y_{0})$
 
$= \lim_{(x,y) \to (0,0)} (2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy $
 
<math>\therefore</math> existe su límite y en la recta <math>y=x</math> se tiene que <math>4x^2</math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta.
<math>\therefore</math> existe su límite y en la recta <math>y=x</math> se tiene que <math>4x^2</math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta.
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann.
 
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuación de Cauchy-Riemann.
 
Esto es que se debe cumplir:
Esto es que se debe cumplir:
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math>
 
'''Conclusión:'''
 
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>
 
Sea <math>u=x^2 y v=y^2</math>
Sea <math>u=x^2 y v=y^2</math>
<math>\frac{\partial u}{\partial x} =  2x</math>
<math>\frac{\partial u}{\partial x} =  2x</math>
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0</math>
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0</math>
Y
Y
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y</math>
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y</math>
<math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0</math>
<math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0</math>
<math>\therefore</math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas


--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 06:54 29 nov 2012 (CST)
<math>\therefore</math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas.


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2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?
Riemann?


1) <math>f(z) = x^2-y^-2ixy. </math>:
1) <math>f(z) = x^2-y^-2ixy. </math>:
2) <math>f(z)= x^3-3y^2+2x+i(3x^2y-y^3+2y). </math>:
2) <math>f(z)= x^3-3y^2+2x+i(3x^2y-y^3+2y). </math>:
3) <math>f(z) = log(x^2+y^2)+ iarctg(\frac{x}{y}).</math>:
3) <math>f(z) = log(x^2+y^2)+ iarctg(\frac{x}{y}).</math>:


Se debe de cumplir que:
Se debe de cumplir que:
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math>:
 
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math>:
 
Y:
Y:
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math>:
 
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>:
 
Para <math>f(z) = x^2-y^-2ixy.</math>:
Para <math>f(z) = x^2-y^-2ixy.</math>:
Siendo, <math>u= x^2-y^2</math> y <math>v=-2xy</math>:
Siendo, <math>u= x^2-y^2</math> y <math>v=-2xy</math>:
las derivadas parciales son:
las derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial u}{\partial x} =  2x</math>:
 
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math>:
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=  2x</math>:
 
<math>\frac{\partial u}{\partial y}= -2y</math>:
 
Y:
Y:
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= -2x</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= -2x</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial x}\\ = -2y</math>:
 
<math>\frac{\partial v}{\partial x}= -2y</math>:


<math>\therefore</math> no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
<math>\therefore</math> no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Línea 90: Línea 120:
Y:
Y:
<math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2+2</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2+2</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial x}\\ = 6xy</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial x}= 6xy</math>:
<math>\therefore</math> no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
<math>\therefore</math> no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para <math>f(z)= \frac{1}{2} log(x^2+y^2)+ iarctg(\frac{x}{y}).</math>:
Para <math>f(z)= \frac{1}{2} log(x^2+y^2)+ iarctg(\frac{x}{y}).</math>:
Línea 98: Línea 128:
Y:
Y:
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= -\frac{x}{x^2+y^2}</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= -\frac{x}{x^2+y^2}</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial x}\\ = \frac{y}{x^2+y^2}</math>:
<math>\frac{\partial v}{\partial x}= \frac{y}{x^2+y^2}</math>:
<math>\therefore</math> se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
<math>\therefore</math> se cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann.:
 


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'''2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+iv(y) </math>, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.'''
'''2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+iv(y) </math>, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.'''
Línea 128: Línea 158:
vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.
vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.


--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST)
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Línea 145: Línea 175:
Por tanto <math>u(x,y)= \mbox{ constante } \Rightarrow f(z)= \mbox{ constante }.</math>
Por tanto <math>u(x,y)= \mbox{ constante } \Rightarrow f(z)= \mbox{ constante }.</math>


--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:24 22 nov 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:24 22 nov 2012 (CST)
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Línea 171: Línea 201:
Entonces <math>u</math> y <math>v</math> son constantes y por tanto <math>f(z) = \mbox{ constante}</math>.
Entonces <math>u</math> y <math>v</math> son constantes y por tanto <math>f(z) = \mbox{ constante}</math>.


--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:38 22 nov 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:38 22 nov 2012 (CST)
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2.23 Muestre que la función <math>f(z)=f(x,y) = \sqrt{xy}</math> , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0.
2.23 Muestre que la función <math>f(z)=f(x,y) = \sqrt{xy}</math> , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0.
Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran  que se cumple lo siguiente:
Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran  que se cumple lo siguiente:
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math>
 
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}</math>
 
Esto es que <math>u_{y}(0,0)=0 , u_{x}(0,0) = v_{y}(0,0) = 0</math>
Esto es que <math>u_{y}(0,0)=0 , u_{x}(0,0) = v_{y}(0,0) = 0</math>
<math>\therefore</math> Satisface las ecuaciones de Riemman.
<math>\therefore</math> Satisface las ecuaciones de Riemman.
Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite:
Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite:
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math>
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math>
Sea <math>h=h_{1}+ih_{2}</math>, entonces  
Sea <math>h=h_{1}+ih_{2}</math>, entonces  
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}</math> = <math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}</math>  y observamos que  
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}</math> = <math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}</math>  y observamos que  
Cuando <math>h_{1} = 0</math> entonces
Cuando <math>h_{1} = 0</math> entonces
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math>
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math>
Y con <math>h_{2} = 0</math>
Y con <math>h_{2} = 0</math>
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math>
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math>
En el caso de que <math>h_{1}=h_{2}</math>, se observa que  
En el caso de que <math>h_{1}=h_{2}</math>, se observa que  
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{1}} }{h_{1}+h_{1}i} = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}^2} }{h_{1}(1+i)}= \frac{1}{1+i} lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} </math>
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{1}} }{h_{1}+h_{1}i} = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}^2} }{h_{1}(1+i)}= \frac{1}{1+i} lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} </math>
Entonces  
 
Entonces
 
<math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = 1, si h_{1}>0 </math>  
<math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = 1, si h_{1}>0 </math>  
Y <math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = -1, si h_{1}<0 </math>   
 
Y <math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = -1, si h_{1}<0 </math>  
   
<math>\therefore</math> <math>f(z)</math> no es diferenciable en z=0
<math>\therefore</math> <math>f(z)</math> no es diferenciable en z=0


--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:47 4 dic 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:47 4 dic 2012 (CST)
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--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)


[[Compleja:z-ej-cap1.0]]
[[Compleja:z-ej-cap1.0]]
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[[Compleja:z-ej-cap2.1]]
[[Compleja:z-ej-cap2.1]]


[[categoría:Complea]]
[[categoría:Compleja]]

Revisión actual - 18:20 4 may 2023

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.

Demostración:

Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces

Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.

Por lo tanto es holomorfa.


Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)


2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.

Demostración

Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.


Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)


2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta en , pero no es holomorfa.

Demostración:

Sea y tenemos que:

Desarrollando los binomios, se eliminan los y los y queda

Reagrupando:

Eliminando, se obtiene que:

$= \lim_{h \to 0} (2x+x_{0})(2y+y_{0})$

$= \lim_{(x,y) \to (0,0)} (2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy $

existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta.

Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuación de Cauchy-Riemann.

Esto es que se debe cumplir:

Conclusión:

Y

Sea

Y

no se cumple y por lo tanto no son holomorfas.


Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)


2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?

1) :

2) :

3) :


Se debe de cumplir que:

:

Y:

:

Para :

Siendo, y :

las derivadas parciales son:

:

:

Y: :

:

no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:

Para :

Siendo, y : : : Y: : : no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.: Para : Siendo, : : : Y: : : se cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann.:



Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:23 29 nov 2012 (CST)



2.16. Si es holomorfa, es de la forma , demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.

Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación:

Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial) puede ser ya que por ejemplo:

lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si y entonces:

y:

con lo que caemos en el caso anterior. Por el otro lado debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación:

vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.


Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)



2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.

Sea

a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que

b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto


Realizado por: Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)


2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.

Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.

Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.

Así que tenemos que
y, por lo tanto, .

Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .


Realizado por: Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)


2.23 Muestre que la función , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0.

Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran que se cumple lo siguiente:

Y

Esto es que

Satisface las ecuaciones de Riemman.

Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite:

Sea , entonces

= y observamos que Cuando entonces

Y con

En el caso de que , se observa que

Entonces

Y

no es diferenciable en z=0


Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:47 4 dic 2012 (CST)


mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2

Compleja:z-ej-cap1.3

Compleja:z-ej-cap1.4

Compleja:z-ej-cap2.1