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| '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>'''
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| :Solucion:
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| :Sea <math> f(z)=z^2 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 </math> donde:
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| <math>u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy</math>
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| :Derivando parcialmente:
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| <math> u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y </math>:
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| <math> v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x </math>
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| :Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
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| '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 </math>'''
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| Solucion:
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| <math> f(z)= |z|^2 = x^2+y^2 \textrm{ i.e. } f(x+iy)=x^2+y^2 </math>
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| Entonces:
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| :Si z=0
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| : <math>f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} =
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| \lim_{h\to 0} \overline{h} = 0 </math>
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| :Si z \ne 0
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| : <math> f' (z)= \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h} + \overline{z} + \overline{h} </math>
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| ::Si <math> h\in \mathbb{R} </math> tenemos:
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| ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z </math>
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| ::Si <math> h=ir \textrm{ con } r>0 </math> entonces:
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| ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z </math>
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| :como <math> z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z </math>
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| : <math> \therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0 </math>
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| --[[Usuario:Cesar|Cesar]] ([[Usuario discusión:Cesar|discusión]]) 21:01 27 nov 2012 (CST)
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| Y <math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = -1, si h_{1}<0 </math> | | Y <math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = -1, si h_{1}<0 </math> |
| <math>\therefore</math> <math>f(z)</math> no es diferenciable en z=0 | | <math>\therefore</math> <math>f(z)</math> no es diferenciable en z=0 |
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| --[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:47 4 dic 2012 (CST) | | --[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:47 4 dic 2012 (CST) |
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Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.
- Demostración:
Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces
Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.
Por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.
- Demostración
Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)
2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta en , pero no es holomorfa.
Sea y tenemos que:
Desarrollando los binomios, se eliminan los y los y queda
Reagrupando:
Eliminando, se obtiene que:
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to 0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}).}
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy }
existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta.
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann.
Esto es que se debe cumplir:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
Sea
Y
no se cumple y por lo tanto no son holomorfas
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)
2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann?
1) :
2) :
3) :
Se debe de cumplir que:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
:
Y:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
:
Para :
Siendo, y :
las derivadas parciales son:
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = -2y
:
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para :
Siendo, y :
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = 6xy
:
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para :
Siendo, :
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = \frac{y}{x^2+y^2}
:
se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:23 29 nov 2012 (CST)
2.16. Si es holomorfa, es de la forma , demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación:
Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial) puede ser ya que por ejemplo:
lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si y entonces:
y:
con lo que caemos en el caso anterior. Por el otro lado debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación:
vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
2.23 Muestre que la función , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0.
Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran que se cumple lo siguiente:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
Y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
Esto es que
Satisface las ecuaciones de Riemman.
Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite:
Sea , entonces
= y observamos que
Cuando entonces
Y con
En el caso de que , se observa que
Entonces
Y
no es diferenciable en z=0
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:47 4 dic 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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