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| '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>'''
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| :Solucion:
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| :Sea <math> f(z)=z^2 \Rightarrow {(u+iv)^2}=u^2+2iuv-v^2 </math> donde:
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| <math>u(x,y)=x^2-y^2 \land v(x,y)=2xy</math>
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| :Derivando parcialmente:
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| <math> u_{x}(x,y)=2x \land u_{y}(x,y)=-2y </math>:
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| <math> v_{x}(x,y)=2y \land v_{y}(x,y)=2x </math>
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| :Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
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| | '''2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+iv(y) </math>, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.''' |
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| '''2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2+y^2 </math>'''
| | Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación: |
| Solucion:
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| <math> f(z)= |z|^2 = x^2+y^2 \textrm{ i.e. } f(x+iy)=x^2+y^2 </math>
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| Entonces:
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| :Si z=0
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| : <math>f'(0)= \lim_{h\to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|h|^2}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{h\overline{h}}{h} =
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| \lim_{h\to 0} \overline{h} = 0 </math>
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| :Si z \ne 0
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| : <math> f' (z)= \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{|z+h|^2-|z|^2}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(z+h)\overline{(z+h)}-z\overline{z}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}+h\overline{z}+h\overline{h}}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{z\overline{h}}{h} + \overline{z} + \overline{h} </math>
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| ::Si <math> h\in \mathbb{R} </math> tenemos:
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| ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} + z </math>
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| ::Si <math> h=ir \textrm{ con } r>0 </math> entonces:
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| ::: <math> \lim_{h\to 0} \ frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \overline{z} - z </math>
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| :como <math> z\ne 0 \Rightarrow \overline{z} + z \ne \overline{z} - z </math>
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| : <math> \therefore f(z) \textrm{ no es diferenciable en } z\ne 0 </math>
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| --[[Usuario:Cesar|Cesar]] ([[Usuario discusión:Cesar|discusión]]) 21:01 27 nov 2012 (CST)
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| | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> |
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| | Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial) puede ser ya que por ejemplo: |
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| 2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+iy(x) </math>, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.
| | <math>Sin\left[x\right]\neq Sin\left[y\right] </math> |
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| Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación
| | lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si <math>u=x^{2} </math> y <math>v=y^{2} </math> entonces: |
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| <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> | | <math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x </math> y: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2y</math> |
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| con la que nos damos cuenta que las exponenciales combinadas con dos variables cumplen esta condición de igual forma los polinomios, pero al aplicar la segunda ecuación | | con lo que caemos en el caso anterior. Por el otro lado debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación: |
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| <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} </math> | | <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} </math> |
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| vemos que la exponencial ya no cumple, pero los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a x se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado. | | vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado. |
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| --[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST) | | --[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST) |
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| --[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:38 22 nov 2012 (CST) | | --[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:38 22 nov 2012 (CST) |
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| 2.34. Muestre que la imagen bajo la exponencial de la recta <math>z=(1+i)t </math>, para <math>t\epsilon\mathbb{R} </math> es una espiral logarítmica y bosqueje su imagen.
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| Sea <math>w=re^{i\theta} </math> entonces
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| <math>w=\mid r\mid(cos\theta+isen\theta) </math>
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| hacemos a <math>w=e^{z} </math> entonces
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| <math>e^{t}(cost+isent)=\mid r\mid(cos\theta+isen\theta)</math> con lo que comparamos y nos queda la solución
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| <math>z=log\mid r\mid+\theta i </math>
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| nota: la parte imaginaria de z en realidad se le suma <math>2\pi k</math> donde k es cualquier entero.
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| Para el bosquejo simplemente se sustituye el valor de z en la exponencial compleja, y al pasarlas al plano uv, se puede graficar la espiral al valores a las siguientes componentes.
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| <math>u=e^{t}cost </math>
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| <math>u=e^{t}sint </math>
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| [[Archivo:Espiral.png]]
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| --[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 05:17 29 nov 2012 (CST)
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| '''3.35 muestre que la función u del ejemplo 2.9 no tiene conjugada armónica.
| | 2.23 Muestre que la función <math>f(z)=f(x,y) = \sqrt{xy}</math> , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0. |
| '''
| | Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran que se cumple lo siguiente: |
| Sea <math>u(x,y)=Log\sqrt{x^{2}+y^{2}} </math>
| | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math> |
| | | Esto es que <math>u_{y}(0,0)=0 , u_{x}(0,0) = v_{y}(0,0) = 0</math> |
| buscamos una función v tal que
| | <math>\therefore</math> Satisface las ecuaciones de Riemman. |
| | | Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite: |
| | | <math>lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math> |
| <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\partial v}{\partial y} | | Sea <math>h=h_{1}+ih_{2}</math>, entonces |
| </math> | | <math>lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}</math> = <math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}</math> y observamos que |
| | | Cuando <math>h_{1} = 0</math> entonces |
| por lo que para encontrar la v integramos respecto a y:
| | <math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math> |
| | Y con <math>h_{2} = 0</math> |
| | <math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math> |
| | En el caso de que <math>h_{1}=h_{2}</math>, se observa que |
| | <math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{1}} }{h_{1}+h_{1}i} = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}^2} }{h_{1}(1+i)}= \frac{1}{1+i} lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} </math> |
| | Entonces |
| | <math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = 1, si h_{1}>0 </math> |
| | Y <math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = -1, si h_{1}<0 </math> |
| | <math>\therefore</math> <math>f(z)</math> no es diferenciable en z=0 |
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| <math>\int\frac{\partial v}{\partial y}dy=\int\frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy=\arctan\frac{y}{x}
| | --[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:47 4 dic 2012 (CST) |
| </math>
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| pero para verificar que es la buena veremos que cumpla con la condición de la segunda ecuación de Cauchy-Riemann
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| <math>\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{\partial v}{\partial x}
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| </math>
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| De igual forma integramos para obtener la v, pero ahora con respecto a x
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| <math>\int\frac{\partial v}{\partial x}dx=\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}dy=\arctan\frac{x}{y}
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| </math>
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| como vemos los argumentos de la función no son iguales ni tampoco salió el signo negativo, por lo tanto la función no tiene armónica conjugada.
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| --[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 05:17 29 nov 2012 (CST)
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| 2.38) Demuestre que si v es conjugado armónica de u, entonces las funciones uv y <math>x^2-y^2</math> son armónicas.
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| Demostración
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| Si v es la conjugada armónica de u, u es armónica en <math>\mathbb{C}</math>, entonces
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| <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math>
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| <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math>
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| entonces:
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| <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} \\</math>
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| y
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| <math>\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}\\</math>
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| <math>\therefore</math> <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\</math>=0
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| :
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| <math>Sea u(x,y)=x^2-y^2</math>, entonces:
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| <math>\frac{\partial v}{\partial x} =2y\\</math> y
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| <math>\frac{\partial v}{\partial y} = 2x \\</math>
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| '''integrando con respecto a x, tenemos:'''
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| '''v(x,y)=2xy +C'''
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| entonces:
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| <math>v(x,y)=2xy +g_{1}</math> y <math>v(x,y)=2xy +g_{2}</math>
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| como <math>g_{1}=g_{2}</math>:
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| <math>\therefore</math> '''v(x,y)=2xy+K'''
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| --[[Usuario:Cecilia Carrizosa Muñoz|cecy]] ([[Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz|discusión]]) 10:31 29 nov 2012 (CST)
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| --[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) | | --[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) |
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.
- Demostración:
Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces
Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.
Por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.
- Demostración
Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)
2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta en , pero no es holomorfa.
Sea y tenemos que:
Desarrollando los binomios, se eliminan los y los y queda
Reagrupando:
Eliminando, se obtiene que:
Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to 0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}).}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy }
existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta.
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann.
Esto es que se debe cumplir:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
Y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
Sea
Y
no se cumple y por lo tanto no son holomorfas
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)
2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann?
1) :
2) :
3) :
Se debe de cumplir que:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
:
Y:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
:
Para :
Siendo, y :
las derivadas parciales son:
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = -2y
:
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para :
Siendo, y :
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = 6xy
:
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para :
Siendo, :
:
:
Y:
:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = \frac{y}{x^2+y^2}
:
se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:23 29 nov 2012 (CST)
2.16. Si es holomorfa, es de la forma , demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación:
Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial) puede ser ya que por ejemplo:
lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si y entonces:
y:
con lo que caemos en el caso anterior. Por el otro lado debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación:
vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
2.23 Muestre que la función , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0.
Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran que se cumple lo siguiente:
Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\
Esto es que
Satisface las ecuaciones de Riemman.
Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite:
Sea , entonces
= y observamos que
Cuando entonces
Y con
En el caso de que , se observa que
Entonces
Y
no es diferenciable en z=0
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:47 4 dic 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1
Compleja:z-ej-cap1.2
Compleja:z-ej-cap1.3
Compleja:z-ej-cap1.4
Compleja:z-ej-cap2.1