Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap2.2»
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'''2.12. Muestre que la función <math> f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f(z) = x^2 +iy^2 </math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x en \mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.''' | '''2.12. Muestre que la función <math> f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f(z) = x^2 +iy^2 </math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x</math> en <math>\mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.''' | ||
Sea <math>h=x_{0}+iy_{0} y z=x+iy< | Sea <math>h=x_{0}+iy_{0}</math> y <math>z=x+iy</math> tenemos que: | ||
<math>lim_{h \to | <math>lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}</math> | ||
Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2 y los iy^2.< | Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2</math>y los <math> iy^2.</math> y queda <math> lim_{h \to 0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}.</math> | ||
<math> | |||
Reagrupando: | Reagrupando: | ||
<math>= lim_{h \to 0} \frac{(x_{0}(2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0})}{x_{0}+iy_{0}}.</math> | |||
<math>= lim_{h \to | <math>= lim_{h \to 0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0})}{x_{0}+iy_{0}}.</math> | ||
<math>= lim_{h \to | <math>= lim_{h \to 0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).</math> | ||
<math>= lim_{h \to | <math>= \lim_{h \to 0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} </math> | ||
Eliminando, se obtiene que: | Eliminando, se obtiene que: | ||
<math>= \lim_{h \to | <math>= \lim_{h \to 0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}).</math> | ||
<math>= \lim_{(x,y) \to | <math>= \lim_{(x,y) \to (0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy </math> | ||
<math\therefore< | <math>\therefore</math> existe su límite y en la recta <math>y=x</math> se tiene que <math>4x^2</math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. | ||
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. | Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. | ||
Esto es que se debe cumplir: | Esto es que se debe cumplir: | ||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\< | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math> | ||
Sea u=x^2 y v=y^2 | Sea <math>u=x^2 y v=y^2</math> | ||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x< | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math> | ||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0< | <math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0</math> | ||
Y | Y | ||
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y< | <math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y</math> | ||
<math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0< | <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0</math> | ||
<math>\therefore< | <math>\therefore</math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas | ||
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 06:54 29 nov 2012 (CST) | |||
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2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy- | |||
Riemann? | |||
-- | 1) <math>f(z) = x^2-y^-2ixy. </math>: | ||
2) <math>f(z)= x^3-3y^2+2x+i(3x^2y-y^3+2y). </math>: | |||
3) <math>f(z) = log(x^2+y^2)+ iarctg(\frac{x}{y}).</math>: | |||
Se debe de cumplir que: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math>: | |||
Y: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math>: | |||
Para <math>f(z) = x^2-y^-2ixy.</math>: | |||
Siendo, <math>u= x^2-y^2</math> y <math>v=-2xy</math>: | |||
las derivadas parciales son: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x</math>: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -2y</math>: | |||
Y: | |||
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= -2x</math>: | |||
<math>\frac{\partial v}{\partial x}\\ = -2y</math>: | |||
<math>\therefore</math> no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.: | |||
Para <math>f(z)= x^3-3y^2+2x+i(3x^2y-y^3+2y)</math>: | |||
Siendo, <math>u= x^3-3y^2+2x</math> y <math>v=3x^2y-y^3+2y</math>: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2+2</math>: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -6y</math>: | |||
Y: | |||
<math>\frac{\partial v}{\partial y}=3x^2-3y^2+2</math>: | |||
<math>\frac{\partial v}{\partial x}\\ = 6xy</math>: | |||
<math>\therefore</math> no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.: | |||
Para <math>f(z)= \frac{1}{2} log(x^2+y^2)+ iarctg(\frac{x}{y}).</math>: | |||
Siendo, <math> u= \frac{1}{2} log(x^2+y^2) y v= arctg(\frac{x}{y}).</math>: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x}{x^2+y^2}</math>: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y}{x^2+y^2}</math>: | |||
Y: | |||
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= -\frac{x}{x^2+y^2}</math>: | |||
<math>\frac{\partial v}{\partial x}\\ = \frac{y}{x^2+y^2}</math>: | |||
<math>\therefore</math> se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.: | |||
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 07:23 29 nov 2012 (CST) | |||
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--[[Usuario: | |||
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'''2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+iv(y) </math>, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.''' | |||
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} </math> | |||
Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial) puede ser ya que por ejemplo: | |||
<math>Sin\left[x\right]\neq Sin\left[y\right] </math> | |||
lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si <math>u=x^{2} </math> y <math>v=y^{2} </math> entonces: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=2x </math> y: <math>\frac{\partial v}{\partial y}=2y</math> | |||
con lo que caemos en el caso anterior. Por el otro lado debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} </math> | |||
vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado. | |||
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST) | |||
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2.23 Muestre que la función <math>f(z)=f(x,y) = \sqrt{xy}</math> , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0. | |||
Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran que se cumple lo siguiente: | |||
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\</math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\</math> | |||
Esto es que <math>u_{y}(0,0)=0 , u_{x}(0,0) = v_{y}(0,0) = 0</math> | |||
<math>\therefore</math> Satisface las ecuaciones de Riemman. | |||
Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite: | |||
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math> | |||
Sea <math>h=h_{1}+ih_{2}</math>, entonces | |||
<math>lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}</math> = <math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}</math> y observamos que | |||
Cuando <math>h_{1} = 0</math> entonces | |||
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math> | |||
Y con <math>h_{2} = 0</math> | |||
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= 0</math> | |||
En el caso de que <math>h_{1}=h_{2}</math>, se observa que | |||
<math>lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{2}} }{h_{1}+h_{2}i}= lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}h_{1}} }{h_{1}+h_{1}i} = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h_{1}^2} }{h_{1}(1+i)}= \frac{1}{1+i} lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} </math> | |||
Entonces | |||
<math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = 1, si h_{1}>0 </math> | |||
Y <math>lim_{h \to 0} \frac{|h_{1}| }{h_{1}} = -1, si h_{1}<0 </math> | |||
<math>\therefore</math> <math>f(z)</math> no es diferenciable en z=0 | |||
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:47 4 dic 2012 (CST) | |||
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) | --[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) |
Revisión del 00:53 15 oct 2020
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.
- Demostración:
Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces
Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.
Por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.
- Demostración
Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)
2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta en , pero no es holomorfa.
Sea y tenemos que:
Desarrollando los binomios, se eliminan los y los y queda
Reagrupando:
Eliminando, se obtiene que: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{h \to 0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}).} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy } existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ Sea Y no se cumple y por lo tanto no son holomorfas
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)
2.13. ¿Cuáles de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy- Riemann?
1) : 2) : 3) :
Se debe de cumplir que: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ : Y: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ : Para : Siendo, y : las derivadas parciales son: : : Y: : Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = -2y :
no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
Para :
Siendo, y : : : Y: : Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = 6xy : no se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.: Para : Siendo, : : : Y: : Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial v}{\partial x}\\ = \frac{y}{x^2+y^2} : se cumple las ecuaciones de Cauchy- Riemann.:
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 07:23 29 nov 2012 (CST)
2.16. Si es holomorfa, es de la forma , demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación:
Vemos que ninguna función transcendente (trigonométrica, logarítmica o exponencial) puede ser ya que por ejemplo:
lo mismo se puede hacer para la exponencial y la logarítmica. Con lo que nos quedan las polinómicas, de las cuales solo cumplen las de grado menor o igual 1, pues para las cuadráticas por ejemplo tenemos:si y entonces:
y:
con lo que caemos en el caso anterior. Por el otro lado debemos de corroborar las condiciones con la segunda ecuación:
vemos que los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a y se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.
--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
2.23 Muestre que la función , no es diferenciable en el origen aunque satisface las ecuaciónes de Cauchy-Riemman en 0. Las ecuaciones de Cauchy – Riemman, aseguran que se cumple lo siguiente: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ Y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ Esto es que Satisface las ecuaciones de Riemman. Queremos saber si es diferenciable en 0 y para ello tenemos que obtener el limite: Sea , entonces = y observamos que Cuando entonces Y con En el caso de que , se observa que Entonces Y no es diferenciable en z=0
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:47 4 dic 2012 (CST)