Compleja:z-ej-cap2.2

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ es una región, defina $\Omega ^{*}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \Omega \}$. Si $f:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ es holomorfa, defina Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^*:\Omega^*\longrightarrow\mathbb{C} mediante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^*(z)=\overline{f(\bar z)} . Demuestre que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^* es holomorfa.

Demostración:

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\in\Omega, w\in\Omega^* , entonces ${\bar {w}}\in \Omega$, tomando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \bar w=z=a+bi . Definimos $A(a,b),B(a,b):\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ funciones diferenciables tales que $f(z)=A(a,b)+B(a,b)i$, con lo cual Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f es holomorfa, entonces

$f^{*}(w)={\overline {f({\bar {w}})}}={\overline {f(z)}}={\overline {A(a,b)+B(a,b)i}}=A(a,b)+{\big (}-B(a,b){\big )}i$ Como $B(a,b)$ es diferenciable, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -B(a,b) tambien lo es, luego $f^{*}$ es diferenciable.

Por lo tanto $f^{*}$ es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)

---

2.10 Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega=\Omega^* observe que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Omega es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función $g:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ dada por $g(z):=f(z)-f^{*}(z)$ es holomorfa.

Demostración

Del ejercicio anterior se tiene que si $f(z)$ es holomorfa, entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f^*(z) es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego $g(z)$ es diferenciable, por lo tanto $g(z)$ es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)

---

2.12. Muestre que la función $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ dada por $f(z)=x^{2}+iy^{2}$ es diferenciable en todos los puntos de la recta $y=xen\mathbb {C}$, pero no es holomorfa.

Sea $h=x_{0}+iy_{0}$ y $z=x+iy$ tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}}

Desarrollando los binomios, se eliminan los Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x^2 y los iy^2.

Se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}}

Reagrupando:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to 0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).}

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} } Eliminando, se obtiene que: Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})} Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy } Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore existe su límite y en la recta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y=x se tiene que $4x^{2}$ por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ Y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ Sea u=x^2 y v=y^2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial x} = 2x Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial u}{\partial y} = 0 Y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial v}{\partial y}= 2y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial v}{\partial x} = 0 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore no se cumple y por lo tanto no son holomorfas

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:54 29 nov 2012 (CST)

---

2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2

Solucion:

Sea $f(z)=z^{2}\Rightarrow {(u+iv)^{2}}=u^{2}+2iuv-v^{2}$ donde:

$u(x,y)=x^{2}-y^{2}\land v(x,y)=2xy$

Derivando parcialmente:

$u_{x}(x,y)=2x\land u_{y}(x,y)=-2y$: $v_{x}(x,y)=2y\land v_{y}(x,y)=2x$

Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann

2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas $f=u+iv{\textrm {con}}u(x,y)=x^{2}+y^{2}$ Solucion: $f(z)=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}{\textrm {i.e.}}f(x+iy)=x^{2}+y^{2}$ Entonces:

Si z=0

$f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h{\overline {h}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\overline {h}}=0$

Si z \ne 0

$f'(z)=\lim _{h\to 0}\ frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim _{h\to 0}{\frac {|z+h|^{2}-|z|^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h){\overline {(z+h)}}-z{\overline {z}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {z{\overline {h}}+h{\overline {z}}+h{\overline {h}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {z{\overline {h}}}{h}}+{\overline {z}}+{\overline {h}}$

Si $h\in \mathbb {R}$ tenemos:

$\lim _{h\to 0}\ frac{f(z+h)-f(z)}{h}={\overline {z}}+z$

Si $h=ir{\textrm {con}}r>0$ entonces:

$\lim _{h\to 0}\ frac{f(z+h)-f(z)}{h}={\overline {z}}-z$

como $z\neq 0\Rightarrow {\overline {z}}+z\neq {\overline {z}}-z$

$\therefore f(z){\textrm {noesdiferenciableen}}z\neq 0$

--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)

---

2.16. Si $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$es holomorfa,$\Omega$ es de la forma $f(x+iy)=u(x)+iy(x)$, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.

Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

con la que nos damos cuenta que las exponenciales combinadas con dos variables cumplen esta condición de igual forma los polinomios, pero al aplicar la segunda ecuación

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

vemos que la exponencial ya no cumple, pero los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a x se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)

---

2.17. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $u$ es constante, desmuestre que $f$ es constante. Similarmente, si $v$ es constante, entonces $f$ es constante.

Sea $f=u+iv$

a) $u(x,y)=Ref(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$.
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$.
Lo que implica que $v(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

b) $v(x,y)=Imf(z)={\mbox{ constante }},$ por lo tanto ${\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}=0$.
Y por las condiciones C-R ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0$.
Por tanto $u(x,y)={\mbox{ constante }}\Rightarrow f(z)={\mbox{ constante }}.$

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)

---

2.18. Si $f:\Omega \to \mathbb {C}$ es holomorfa, $\Omega$ una región y $|f|$ es constante, desmuestre que $f$ es constante.

Si $|f(z)|=C\Rightarrow |f(z)|^{2}=f(z){\overline {f(z)}}=C^{2}$ y, por tanto,
${\overline {f(z)}}={\frac {C^{2}}{f(z)}}$.
Como el lado derecho es una función holomorfa, $\Rightarrow {\overline {f(z)}}$ es holomorfa.

Ahora, como ${\overline {f(z)}}=u-iv,$ las condiciones de C-R se traducen en:
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$,
y las mismas condiciones sobre $f(z)$ implican
${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{cases}}$.

Así que tenemos que ${\frac {\partial u}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial y}}=0$
y, por lo tanto, ${\frac {\partial u}{\partial x}}=0$.

Análogamente, ${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\Rightarrow {\frac {\partial v}{\partial x}}=0$ y ${\frac {\partial u}{\partial y}}=0$.
Entonces $u$ y $v$ son constantes y por tanto $f(z)={\mbox{ constante}}$.

--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)

---

2.27. Demuestre que los ceros de las funciones seno y coseno complejas son los mismos que los de las funciones reales correspondientes.

Esto se puede demostrar tomando al seno y coseno complejo con $z=x+iy$ De manera que;

$Senz=senxcoshy+icosxsenhyycosz=cosxcoshy+senxsenhy$

Así,

$Senz=0\leftrightarrow y=0ysenx=0\leftrightarrow z=2kPi,k\in Z$

$Cosz=0\leftrightarrow y=0ycosx=0\leftrightarrow z=(2k+1)Pi/2,k\in Z$

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 06:57 29 nov 2012 (CST)

---

2.31. Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen como sigue senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}) coshz = \frac{1}{2}(e^z+e^{-z}) tanhz= \frac{senhz}{coshz} cothz=\frac{coshz}{senhz} sechz=\frac{1}{coshz} cschz=\frac{1}{senhz}.

1. Observe que senhz y coshz son holomorfas en todo C. Encuentre los mayores dominios donde las otras funciones hiperbólicas anteriores son holomorfas 2. Obtenga expresiones para las derivadas de las funciones hiperbólicas. 3. Demuestre las identidades siguientes: Cosh^2z-senh^2z = 1 cosz = coshiz i sen z = senhiz:

4. Demuestre las identidades siguientes: senh(a+b) = senhacoshb+coshasenhb cosh(a+b) = coshacoshb+senhasenhb cos z = cos xcoshy+isen xsenhy sen z = sen xcoshy+icos xsenhy donde z = x+iy. 2.-

senhz =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})

Usando la definición de senhz tenemos:

(Senhz)´= (\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z-e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}] y por

recordando que coshz = \frac{1}{2}[e^z+e^{-z}]

entonces se tiene que (Senhz)´= coshz

coshz = \frac{1}{2}(e^z+e^{-z})

Procedemos de manera similar, derivando la definición de coshz.

(Coshz)´= (\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}))´ = \frac{1}{2}\frac{ d(e^z+e^{-z})}{dz} = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}] y por

recordando que senhz = \frac{1}{2}[e^z-e^{-z}]

entonces se tiene que (Coshz)´= senhz

Para la tangente hiperbólica se tiene,

tanhz= \frac{senhz}{coshz}

Por definición del senhz y coshz podemos obtener:

tanhz= \frac{senhz}{coshz}= \frac{e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}}

Derivando,

(tanhz)´= (\frac{(e^z-e^{-z}}{{e^z-e^{-z}})´ = \frac{(e^z+e{-z})(e^z+e^{-z})-(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})}{(e^z+e^{-z})^2}

Desarrollando y eliminando términos;

= \frac{2+2}{(e^z+e^{-z})^2} = \frac{4}{(e^z+e^{-z})^2}

Usando el hecho de que (2coshz)^2 = (e^2+e^{-2})^2 y sustituyendo; se obtiene.

= \frac{4}{4cos^2hz} = \frac{1}{1cos^2hz}.

cothz=\frac{coshz}{senhz}

Usando la definición de senhz y coshz se tiene:

Cothz = \frac{e^z+e^{-z}){ e^z-e^{-z}}

(cothz)´= \frac{(e^z-e^{-z})(e^z-e^{-z})-(e^z+e^{-z})(e^z+e^{-z})}

Desarrollando y eliminando términos, obtenemos.

=\frac{-2-2}{(e^z-e^{-z})^2} = \frac{-4}{4senh^2z} = \frac{-1}{1senh^2z}

El último termino se obtuvo utilizando la identidad de senhz.

sechz=\frac{1}{coshz}

\frac{1}{coshz}= \frac{1}{frac{e^z-e^{-z}}{2}} = \frac{2}{e^z+e^{-z}}

Derivando la última expresión tenemos.

= \frac{-2(e^z-e^{-z})}{(e^z+e^{-z})^2}

Usando el hecho de que 2coshz= e^z+e^{-z} y sustituyendo dentro de la ecuación anterior.

=\frac{-2(e^z-e^{-z})}{4cosh^2z}

= \frac{-4senhz}{4cosh^2z}= \frac{-tanhz}{coshz} = -tanhz sechz ; dado que \frac{1}{coshz} = sechz.

cschz=\frac{1}{senhz}.

\frac{1}{senhz}= \frac{2}{e^z-e^{-z}}

Derivando el cschz se tiene que,

(cschz)´= \frac{-2(e^z+e^{-z}}{(e^z-e^{-z})^2} =

Usando las identidades de senhz y coshz se tiene:

\frac{-2(2coshz)}{(2senhz)^2} = \frac{-4coshz}{4senh^2z}= \frac{coshz}{senh^2z}

3.- Cosh^2z-senh^2z = 1 cosz = coshiz i sen z = senhiz:

4.- Identidades

senh(a+b) = senhacoshb+coshasenhb

Por definición tenemos que: senhx = \frac{e^x-e^{-x}}{2} y cosnhy = \frac{e^y+e^{-y}}{2}

Senhacoshb +coshasenhb = (\frac{e^a-e^{-a}}{2})(\frac{e^b+e^{-b}}{2})+(\frac{e^a+e^{-a}}{2})(\frac{e^b-e^{-b}}{2})

= \frac{1}{4}(e^{a+b}+ e^{a-b}- e^{-a+b}- e^{-a-b}+ e^{a+b}- e^{a-b}+ e^{-a+b}- e^{-a-b})

Se eliminan algunos términos y obtenemos,

= \frac{1}{4}(2e^{a+b}-2e^{-a-b}) = \frac{1}{2}(e^{a+b}-e^{-a-b} = senh(a+b)

cosh(a+b) = coshacoshb+senhasenhb

Usando las definiciones, vemos que:

coshacoshb +senhasenhb = (\frac{e^a+e^{-a}}{2})(\frac{e^b+e^{-b}}{2})+(\frac{e^a-e^{-a}}{2})(\frac{e^b-e^{-b}}{2})

= \frac{1}{4}(e^{a+b}+ e^{a-b}+ e^{-a+b}+ e^{-a-b}+ e^{a+b}- e^{a-b}- e^{-a+b}+ e^{-a-b})

Se eliminan algunos términos y obtenemos,

= \frac{1}{4}(2e^{a+b}+2e^{-(a+b)}) = \frac{1}{2}(e^{a+b}+e^{-(a+b)} = cosh(a+b)

senhz = cos xcoshy+isen xsenhy

Sea z=x+iy

senhz=\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}= \frac{e^{xi-y}-e^{-xi+y}}{2i}

= \frac{e^{-y}}{2i}(cosx+isenx)-\frac{e^{y}}{2i}(cosx-isenx)

= senx(\frac{e^{-y}+e^y}{2})+icosx(\frac{e^{-y}-e^y}{2})

Y por definición del senh y cosh se tiene:

=senxcoshy+icosxsenhy

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \therefore<\math> senhz = senxcoshy+icosxsenhy Por demostrar. <math>Coshz = cosxcoshy-isenxsenhy.}

Sea $z=x+iy$

$coshz={\frac {e^{i(x+iy)}+e^{-i(x+iy)}}{2i}}={\frac {e^{xi-y}+e^{-xi+y}}{2i}}$

$={\frac {e^{-y}}{2i}}(cosx+isenx)-{\frac {e^{y}}{2i}}(cosx-isenx)$

$=cosx({\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}})+isenx({\frac {e^{-y}-e^{y}}{2}})$

Y por definición del $senh$ y $cosh$ se tiene:

$=cosxcoshy+isenxsenhy$

Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle \therefore<\math> coshz = cosxcoshy+isenxsenhy --~~~~ ---- 2.34. Muestre que la imagen bajo la exponencial de la recta <math>z=(1+i)t } , para $t\epsilon \mathbb {R}$ es una espiral logarítmica y bosqueje su imagen.

Sea $w=re^{i\theta }$ entonces

$w=\mid r\mid (cos\theta +isen\theta )$

hacemos a $w=e^{z}$ entonces

$e^{t}(cost+isent)=\mid r\mid (cos\theta +isen\theta )$ con lo que comparamos y nos queda la solución

$z=log\mid r\mid +\theta i$

nota: la parte imaginaria de z en realidad se le suma $2\pi k$ donde k es cualquier entero.

Para el bosquejo simplemente se sustituye el valor de z en la exponencial compleja, y al pasarlas al plano uv, se puede graficar la espiral al valores a las siguientes componentes.

$u=e^{t}cost$

$u=e^{t}sint$

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)

---

3.35 muestre que la función u del ejemplo 2.9 no tiene conjugada armónica. Sea $u(x,y)=Log{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

buscamos una función v tal que

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

por lo que para encontrar la v integramos respecto a y:

$\int {\frac {\partial v}{\partial y}}dy=\int {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy=\arctan {\frac {y}{x}}$

pero para verificar que es la buena veremos que cumpla con la condición de la segunda ecuación de Cauchy-Riemann

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

De igual forma integramos para obtener la v, pero ahora con respecto a x

$\int {\frac {\partial v}{\partial x}}dx=\int {\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dy=\arctan {\frac {x}{y}}$

como vemos los argumentos de la función no son iguales ni tampoco salió el signo negativo, por lo tanto la función no tiene armónica conjugada.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 05:17 29 nov 2012 (CST)

---

---

--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2

Compleja:z-ej-cap1.3

Compleja:z-ej-cap1.4

Compleja:z-ej-cap2.1