Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap2.2»

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2.16. Si <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math>es holomorfa,<math>\Omega </math> es de la forma <math>f(x+iy)=u(x)+iy(x) </math>, demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.
Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}  </math>
con la que nos damos cuenta que las exponenciales combinadas con dos variables cumplen esta condición de igual forma los polinomios, pero al aplicar la segunda ecuación
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} </math>
vemos que la exponencial ya no cumple, pero los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a x se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 04:20 29 nov 2012 (CST)


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Revisión del 05:20 29 nov 2012

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.

Demostración:

Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces

Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.

Por lo tanto es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)


2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.

Demostración

Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)


2.12. Muestre que la función dada por es diferenciable en todos los puntos de la recta , pero no es holomorfa.

Sea y tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}}

Desarrollando los binomios, se eliminan los

Se obtiene:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}}

Reagrupando:

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.}

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).}

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} } Eliminando, se obtiene que: Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})} Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle = \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy } existe su límite y en la recta se tiene que por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ Y Error al representar (error de sintaxis): \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\ Sea u=x^2 y v=y^2 Y no se cumple y por lo tanto no son holomorfas




2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas

Solucion:
Sea donde:

Derivando parcialmente:

:

Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann


2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas Solucion: Entonces:

Si z=0
Si z \ne 0
Si tenemos:
Si entonces:
como

--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)



2.16. Si es holomorfa, es de la forma , demuestre que f es un polinomio de primer grado en z.

Como es holomorfa la función tiene que cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann por lo que para la primera ecuación

con la que nos damos cuenta que las exponenciales combinadas con dos variables cumplen esta condición de igual forma los polinomios, pero al aplicar la segunda ecuación

vemos que la exponencial ya no cumple, pero los polinomios siguen cumpliendo, pues como la función "u" depende únicamente de x, su derivada con respecto a x se hace 0, de igual forma con "v" como depende solo de y, su parcial con respecto a x se hace 0; por lo que tienen que ser polinomios de primer grado u, v; por lo tanto z es polinomio de primer grado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 04:20 29 nov 2012 (CST)



2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.

Sea

a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que

b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)


2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.

Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.

Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.

Así que tenemos que
y, por lo tanto, .

Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .

--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)


--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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