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'''2.12. Muestre que la función <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f (z) = x^2 +iy^2 <\math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x en \mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.'''
Sea <math>h=x_{0}+iy_{0} y z=x+iy<\math> tenemos que:
<math>lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}<\math>
Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2 y los iy^2.<\math>
Se obtiene:
<math>= lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}<\math>
Reagrupando:
<math>= lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.<\math>
<math>= lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).<\math>
<math>= lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).<\math>
<math>= \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} <\math>
Eliminando, se obtiene que:
<math>= \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})<\math>
<math>= \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy <\math>
<math\therefore<\math> existe su límite y en la recta <math>y=x<\math> se tiene que <math>4x^2<\math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta.
Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann.
Esto es que se debe cumplir:
<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\<\math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\<\math>
Sea u=x^2 y v=y^2
<math>\frac{\partial u}{\partial x} =  2x<\math>
<math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0<\math>
Y
<math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y<\math>
<math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0<\math>
<math>\therefore<\math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas
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'''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas  <math> f=u+iv \textrm{  con }  u(x,y)=x^2-y^2</math>'''
'''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas  <math> f=u+iv \textrm{  con }  u(x,y)=x^2-y^2</math>'''

Revisión del 20:44 28 nov 2012

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.

Demostración:

Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces

Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.

Por lo tanto es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)


2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.

Demostración

Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)


2.12. Muestre que la función dada por Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle f (z) = x^2 +iy^2 <\math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x en \mathbb{C}} , pero no es holomorfa.

Sea Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle h=x_{0}+iy_{0} y z=x+iy<\math> tenemos que: <math>lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}<\math> Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2 y los iy^2.<\math> Se obtiene: <math>= lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}<\math> Reagrupando: <math>= lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.<\math> <math>= lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).<\math> <math>= lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).<\math> <math>= \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} <\math> Eliminando, se obtiene que: <math>= \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})<\math> <math>= \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy <\math> <math\therefore<\math> existe su límite y en la recta <math>y=x<\math> se tiene que <math>4x^2<\math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\<\math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\<\math> Sea u=x^2 y v=y^2 <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x<\math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0<\math> Y <math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y<\math> <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0<\math> <math>\therefore<\math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas --~~~~ '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2}

Solucion:
Sea donde:

Derivando parcialmente:

:

Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann


2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas Solucion: Entonces:

Si z=0
Si z \ne 0
Si tenemos:
Si entonces:
como

--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)




2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.

Sea

a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que

b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto

--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)


2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.

Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.

Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.

Así que tenemos que
y, por lo tanto, .

Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .

--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)


--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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