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| | '''2.12. Muestre que la función <math>f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}</math> dada por <math> f (z) = x^2 +iy^2 <\math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x en \mathbb{C}</math>, pero no es holomorfa.''' |
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| | Sea <math>h=x_{0}+iy_{0} y z=x+iy<\math> tenemos que: |
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| | <math>lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}<\math> |
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| | Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2 y los iy^2.<\math> |
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| | Se obtiene: |
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| | <math>= lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}<\math> |
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| | Reagrupando: |
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| | <math>= lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.<\math> |
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| | <math>= lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).<\math> |
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| | <math>= lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).<\math> |
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| | <math>= \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} <\math> |
| | Eliminando, se obtiene que: |
| | <math>= \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})<\math> |
| | <math>= \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy <\math> |
| | <math\therefore<\math> existe su límite y en la recta <math>y=x<\math> se tiene que <math>4x^2<\math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. |
| | Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. |
| | Esto es que se debe cumplir: |
| | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\<\math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\<\math> |
| | Sea u=x^2 y v=y^2 |
| | <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x<\math> |
| | <math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0<\math> |
| | Y |
| | <math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y<\math> |
| | <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0<\math> |
| | <math>\therefore<\math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas |
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| | --~~~~ |
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| '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' | | '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2</math>''' |
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.9 Si es una región, defina . Si es holomorfa, defina mediante . Demuestre que es holomorfa.
- Demostración:
Sea , entonces , tomando . Definimos funciones diferenciables tales que , con lo cual es holomorfa, entonces
Como es diferenciable, entonces tambien lo es, luego es diferenciable.
Por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 00:29 28 nov 2012 (CST)
2.10 Si observe que es simétrica con respecto al eje real por el ejercicio anterior se sigue que la función dada por es holomorfa.
- Demostración
Del ejercicio anterior se tiene que si es holomorfa, entonces es holomorma y en consecuencia diferenciables, de la proposición 2.1 la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable, luego es diferenciable, por lo tanto es holomorfa.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 01:01 28 nov 2012 (CST)
2.12. Muestre que la función dada por Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle f (z) = x^2 +iy^2 <\math> es diferenciable en todos los puntos de la recta <math> y = x en \mathbb{C}}
, pero no es holomorfa.
Sea Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle h=x_{0}+iy_{0} y z=x+iy<\math> tenemos que: <math>lim_{h \to \0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} = \lim_{h \to \0} \frac{(x+x_{0})^2+i(y+y_{0})^2-(x^2+iy^2)}{x_{0}+iy_{0}}<\math> Desarrollando los binomios, se eliminan los <math>x^2 y los iy^2.<\math> Se obtiene: <math>= lim_{h \to \0} \frac{2xx_{0}+(x_{0})^2+(2yy_{0}+y_{0})i}{x_{o}+iy_{0}}<\math> Reagrupando: <math>= lim_{h \to \0} \frac{x_{0}((2x+x_{0})+iy_{0}(2y+y_{0}{x_{0}+iy_{0}}.<\math> <math>= lim_{h \to \0} \frac{(x_{0}+iy_{0})(2x+x_{0})(2y+y_{0}){x_{0}+iy_{0}}).<\math> <math>= lim_{h \to \0} (2x+x_{0})(2y+y_{0}).<\math> <math>= \lim_{h \to \0} \frac{x^2+iy^2+x+iy-x^2-iy^2}{x+iy} <\math> Eliminando, se obtiene que: <math>= \lim_{h \to \0} \(2x+x_{0})(2y+y_{0})<\math> <math>= \lim_{(x,y) \to \(0,0)} \(2x+x_{0})(2y+y_{0}) = 4xy <\math> <math\therefore<\math> existe su límite y en la recta <math>y=x<\math> se tiene que <math>4x^2<\math> por lo que existe en todo ese punto y es diferenciable sobre cualquier punto sobre la recta. Y no es holomorfa porque no se cumple la ecuacion de Cauchy-Riemann. Esto es que se debe cumplir: <math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\<\math> Y <math>\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\\<\math> Sea u=x^2 y v=y^2 <math>\frac{\partial u}{\partial x} = 2x<\math> <math>\frac{\partial u}{\partial y} = 0<\math> Y <math>\frac{\partial v}{\partial y}= 2y<\math> <math>\frac{\partial v}{\partial x} = 0<\math> <math>\therefore<\math> no se cumple y por lo tanto no son holomorfas --~~~~ '''2.14) Encuentre todas las funciones holomorfas <math> f=u+iv \textrm{ con } u(x,y)=x^2-y^2}
- Solucion:
- Sea donde:
- Derivando parcialmente:
:
- Ambas satisfacen las ecuaciones de Riemann
2.15) Demuestre que no hay funciones holomorfas
Solucion:
Entonces:
- Si z=0
- Si z \ne 0
-
- Si tenemos:
- Si entonces:
- como
--Cesar (discusión) 21:01 27 nov 2012 (CST)
2.17. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante. Similarmente, si es constante, entonces es constante.
Sea
a) por lo tanto .
Y por las condiciones de Cauchy-Riemann (C-R) .
Lo que implica que
b) por lo tanto .
Y por las condiciones C-R .
Por tanto
--Belen (discusión) 23:24 22 nov 2012 (CST)
2.18. Si es holomorfa, una región y es constante, desmuestre que es constante.
Si y, por tanto,
.
Como el lado derecho es una función holomorfa, es holomorfa.
Ahora, como las condiciones de C-R se traducen en:
,
y las mismas condiciones sobre implican
.
Así que tenemos que
y, por lo tanto, .
Análogamente, y .
Entonces y son constantes y por tanto .
--Belen (discusión) 23:38 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
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