Compleja:z-ej-cap2.1

Derivadas

2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ es continua e inyectiva y para Error al representar (error de sintaxis): \xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi) existe y no es nula, para la inversa $g$ de $f$ se tiene que $g'(f(\xi ))={\frac {1}{f'(\xi )}}$ .

Demostración.
Sea $w=f(\xi )\Rightarrow f^{-1}(f(\xi ))=f^{-1}(w)=\xi$ .
Como $f$ es derivable en $\xi$ , tenemos que Error al representar (error de sintaxis): f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),
donde $\varphi$ es continnua en $\xi$ .
Consideremos que $I$ es un intervalo abierto contenido en el dominio de $g=f^{-1}$ , entonces
Error al representar (error de sintaxis): y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I .
Por tanto $[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]={\frac {1}{\varphi (f^{-1}(y))}}(y-w)$ ,
donde $g=f^{-1}$ es continua en $I$ y $\varphi$ continua en $f^{-1}(w)=\xi$ .
Así que ${\frac {(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}}$ es continua en $w$ . Luego $f^{-1}=g$ es derivable en $w$ y $(f^{-1})'(w)={\frac {1}{\varphi (f^{-1}(w))}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(w))}}$
$\Rightarrow g'(f(\xi ))={\frac {1}{f'(\xi )}}$ .