Compleja:z-ej-cap2.1

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Derivadas

2.2 Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados un conjunto abierto y funciones, si y diferenciables en , entonces:

(1) es diferenciables en y además .

(2) es diferenciables en y además .

(3) Si , es diferenciables en y además si Error al representar (error de sintaxis): \displaystyle\frac{f}{g}=\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)²} .

Demostración:

De la derivación a la Carathéodory tenemos que .

(1)

=

(2)

, pues cuando

(3) Sea , entonces

como entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): h'(z)=-\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)²} , luego, del enciso (2) se tiene que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (f\cdot h)'(z)=f(z)h'(z)+f'(z)h(z)=-f(z)\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)²}+f'(z)\displaystyle\frac{1}{g(z)}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)²}

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:18 27 nov 2012 (CST)



2.4) (Teorema de Rolle) Si con a<b y es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si , existe un donde alcanza su máximo o mínimo.

Demostración:
Como f es continua en [a,b], entonces:
Si entonces es constante y en este caso cualquier satisface Error al representar (error de sintaxis): f´(x_{0})=0
Si
pero si: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0
Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0

--cecy (discusión) 21:15 27 nov 2012 (CST)



2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si es continua e inyectiva y para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi) existe y no es nula, para la inversa de se tiene que .

Demostración.
Sea .
Como es derivable en , tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),
donde es continnua en .
Consideremos que es un intervalo abierto contenido en el dominio de , entonces
Error al representar (error de sintaxis): y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I .
Por tanto ,
donde es continua en y continua en .
Así que es continua en . Luego es derivable en y
.

Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.--Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)

--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)


2.8 Si es una región y es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función tal que , demuestre que cualquiera dos primitivas de difieren solo por una constante.

Demostración:

Sean dos primitivas de , entonces & , luego , luego, por la proposición 2.5, , es decir, que las funciones & difieren solo por una constante.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:33 27 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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