Compleja:z-ej-cap2.1

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Derivadas

2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si \(f:(a,b)\to \mathbb{R} \) es continua e inyectiva y para \(\xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi)\) existe y no es nula, para la inversa \(g\) de \(f\) se tiene que \(g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}\).

Demostración.
Sea \(w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi\).
Como \(f\) es derivable en \(\xi\), tenemos que \(f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),\)
donde \(\varphi\) es continnua en \(\xi\).
Consideremos que \(I\) es un intervalo abierto contenido en el dominio de \(g=f^{-1}\), entonces
\(y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I\).
Por tanto \([f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)\),
donde \(g=f^{-1}\) es continua en \(I\) y \(\varphi\) continua en \(f^{-1}(w)=\xi\).
Así que \(\frac{(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}\) es continua en \(w\). Luego \(f^{-1}=g\) es derivable en \(w\) y \((f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}\)
\(\Rightarrow g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}\).

Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.--Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)

--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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