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==Derivadas== | |||
'''2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si <math>f:(a,b)\to \mathbb{R} </math> es continua e inyectiva y para <math>\xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi)</math> existe y no es nula, para la inversa <math>g</math> de <math>f</math> se tiene que <math>g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>.''' | |||
Demostración.<br/> | |||
Sea <math>w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> | |||
Como <math>f</math> es derivable en <math>\xi</math>, tenemos que <math>f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),</math> <br/> | |||
donde <math>\varphi</math> es continnua en <math>\xi</math>.<br/> | |||
Consideremos que <math>I</math> es un intervalo abierto contenido en el dominio de <math>g=f^{-1}</math>, entonces<br/> | |||
<math>y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I</math>.<br/> | |||
Por tanto <math>[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)</math>,<br/> | |||
donde <math>g=f^{-1}</math> es continua en <math>I</math> y <math>\varphi</math> continua en <math>f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> | |||
Así que <math>\frac{(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}</math> es continua en <math>w</math>. Luego <math>f^{-1}=g</math> es derivable en <math>w</math> y <math>(f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}</math><br/> | |||
<math>\Rightarrow g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>. | |||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:12 22 nov 2012 (CST) | |||
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--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) | --[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC) | ||
Revisión del 00:12 23 nov 2012
Derivadas
2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si es continua e inyectiva y para Error al representar (error de sintaxis): \xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi) existe y no es nula, para la inversa de se tiene que .
Demostración.
Sea .
Como es derivable en , tenemos que Error al representar (error de sintaxis): f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),
donde es continnua en .
Consideremos que es un intervalo abierto contenido en el dominio de , entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I
.
Por tanto ,
donde es continua en y continua en .
Así que es continua en . Luego es derivable en y
.
--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)