Compleja:z-ej-cap2.1

Derivadas

2.2 Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ un conjunto abierto y $f,g:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ funciones, si $z\in \Omega$ y $f,g$ diferenciables en $z$, entonces:

(1) $f+g:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ es diferenciables en $z$ y además $(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$.

(2) $f\cdot g:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ es diferenciables en $z$ y además $(f\cdot g)'(z)=f(z)g'(z)+f'(z)g(z)$.

(3) Si $g\not =0$, $\displaystyle {\frac {f}{g}}:\Omega \longrightarrow \mathbb {C}$ es diferenciables en $z$ y además si Error al representar (error de sintaxis): \displaystyle\frac{f}{g}=\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)²} .

Demostración:

De la derivación a la Carathéodory tenemos que $f'(z)=\varphi (z)=\displaystyle {\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$.

(1) $(f+g)'(z)=\displaystyle {\frac {(f+g)'(z)-(f+g)(z_{0})}{z-z_{0}}}=\displaystyle {\frac {f(z)+g(z)-f(z_{0})-g(z_{0})}{z-z_{0}}}$

=$\displaystyle {\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}+\displaystyle {\frac {g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}}}=f'(z)+g'(z)$

(2) $(f\cdot g)'(z)=\displaystyle {\frac {(f\cdot g)(z)-(f\cdot g)(z)}{z-z_{0}}}=\displaystyle {\frac {f(z)g(z)-f(z_{0})g(z_{0})}{z-z_{0}}}$

$=\displaystyle {\frac {f(z)g(z)-f(z_{0})g(z_{0})+f(z)g(z_{0})-f(z)g(z_{0})+f(z_{0})g(z)-f(z_{0})g(z)+f(z)g(z)-f(z)g(z)}{z-z_{0}}}$

$=f(z)\displaystyle {\frac {g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}}}+g(z)\displaystyle {\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}+{\big (}f(z)-f(z_{0}){\big )}\displaystyle {\frac {g(z_{0})-g(z)}{z-z_{0}}}$

$=f(z)g'(z)+f'(z)g(z)$, pues cuando $z\longrightarrow z_{0}$ $f(z)-f(z_{0})\longrightarrow 0$

(3) Sea $h(z)={\frac {1}{g(z)}}$, entonces

$h'(z)=\displaystyle {\frac {h(z)-h(z_{0})}{z-z_{0}}}=\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {1}{g(z)}}-{\frac {1}{g(z_{0})}}}{z-z_{0}}}=\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {g(z_{0})-g(z)}{g(z)g(z_{0})}}}{z-z_{0}}}$

$=-\displaystyle {\frac {1}{g(z)g(z_{0})}}{\frac {g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}}}$ como $z\longrightarrow z_{0}$ entonces

Error al representar (error de sintaxis): h'(z)=-\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)²} , luego, del enciso (2) se tiene que

Error al representar (error de sintaxis): (f\cdot h)'(z)=f(z)h'(z)+f'(z)h(z)=-f(z)\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)²}+f'(z)\displaystyle\frac{1}{g(z)}

Error al representar (error de sintaxis): =\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)²}

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:18 27 nov 2012 (CST)

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2.4) (Teorema de Rolle) Si $a,b\in \mathbb {R}$ con a<b y $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ es continua, y además es derivable en (a,b), demuestre que si $f(a)=f(b)$, existe un $\xi \in (a,b)$ donde $f$ alcanza su máximo o mínimo.

Demostración:

Como f es continua en [a,b], entonces:

$\exists x_{1},x_{2}\in [a,b]{\textrm {talque}}\forall x\in [a,b]\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2})$

Si $f(x_{1})=f(x)$ entonces $f$ es constante y en este caso cualquier $x_{0}\in (a,b)$ satisface Error al representar (error de sintaxis): f´(x_{0})=0

Si $x_{1}\in \{a,b\}\Rightarrow f(x_{1})=f(a)=f(b)$

pero si: Error al representar (error de sintaxis): f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \Rightarrow f(x_{2})\ne f(a) \land f(x_{2})\ne f(b) \Rightarrow x_{2}\notin \{a,b\} \Rightarrow x_{2}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{2})=0

Si Error al representar (error de sintaxis): x_{2}\in \{a,b\} \Rightarrow x_{1}\notin \{a,b\} x_{1}\in (a,b) \textrm{ y } f´(x_{1})=0

--cecy (discusión) 21:15 27 nov 2012 (CST)

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2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ es continua e inyectiva y para Error al representar (error de sintaxis): \xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi) existe y no es nula, para la inversa $g$ de $f$ se tiene que $g'(f(\xi ))={\frac {1}{f'(\xi )}}$.

Demostración.
Sea $w=f(\xi )\Rightarrow f^{-1}(f(\xi ))=f^{-1}(w)=\xi$.
Como $f$ es derivable en $\xi$, tenemos que Error al representar (error de sintaxis): f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),
donde $\varphi$ es continnua en $\xi$.
Consideremos que $I$ es un intervalo abierto contenido en el dominio de $g=f^{-1}$, entonces
Error al representar (error de sintaxis): y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I .
Por tanto $[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]={\frac {1}{\varphi (f^{-1}(y))}}(y-w)$,
donde $g=f^{-1}$ es continua en $I$ y $\varphi$ continua en $f^{-1}(w)=\xi$.
Así que ${\frac {(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}}$ es continua en $w$. Luego $f^{-1}=g$ es derivable en $w$ y $(f^{-1})'(w)={\frac {1}{\varphi (f^{-1}(w))}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(w))}}$
$\Rightarrow g'(f(\xi ))={\frac {1}{f'(\xi )}}$.

Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.--Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)

--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)

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--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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