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| + | Demostración.<br/> | ||
| + | Sea <math>w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> | ||
| + | Como <math>f</math> es derivable en <math>\xi</math>, tenemos que <math>f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),</math> <br/> | ||
| + | donde <math>\varphi</math> es continnua en <math>\xi</math>.<br/> | ||
| + | Consideremos que <math>I</math> es un intervalo abierto contenido en el dominio de <math>g=f^{-1}</math>, entonces<br/> | ||
| + | <math>y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I</math>.<br/> | ||
| + | Por tanto <math>[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)</math>,<br/> | ||
| + | donde <math>g=f^{-1}</math> es continua en <math>I</math> y <math>\varphi</math> continua en <math>f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/> | ||
| + | Así que <math>\frac{(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}</math> es continua en <math>w</math>. Luego <math>f^{-1}=g</math> es derivable en <math>w</math> y <math>(f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}</math><br/> | ||
| + | <math>\Rightarrow g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>. | ||
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Revisión del 00:12 23 nov 2012
Derivadas
2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si \(f:(a,b)\to \mathbb{R} \) es continua e inyectiva y para \(\xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi)\) existe y no es nula, para la inversa \(g\) de \(f\) se tiene que \(g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}\).
Demostración.
Sea \(w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi\).
Como \(f\) es derivable en \(\xi\), tenemos que \(f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),\)
donde \(\varphi\) es continnua en \(\xi\).
Consideremos que \(I\) es un intervalo abierto contenido en el dominio de \(g=f^{-1}\), entonces
\(y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I\).
Por tanto \([f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)\),
donde \(g=f^{-1}\) es continua en \(I\) y \(\varphi\) continua en \(f^{-1}(w)=\xi\).
Así que \(\frac{(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}\) es continua en \(w\). Luego \(f^{-1}=g\) es derivable en \(w\) y \((f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}\)
\(\Rightarrow g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}\).
--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)
