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==Derivadas==
2.1. En la formulación de Caratheodory, demuestre que a lo mas hay una única
función  <math>\phi</math> que satisface las condiciones impuestas.
Por definición tenemos que <math>f(x)-f(a)=\phi_{f}(x,a)(x-a)</math> para todo <math>x \in Omega</math>
Se tienen dos consecuencias inmediatas.
* Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
* Si f es diferenciable en a, existe al menos una función <math>\phi</math> que satisface la diferencia; además si <math>f'(a)</math> existe <math>f'(a) = \phi(a)</math>
Por lo que existe una <math>\phi (a) = \psi (a)</math> que satisfacen las condiciones dadas previamente.
'''Demostración'''
Suponemos que <math>\psi</math> y <math>\phi</math> son dos funciones tales que <math>\psi(a) = f'(a)</math> y <math>\phi(a) = f'(a)</math>.
Sea <math>n(x) = \psi(x)-\phi(x)</math>. Entonces
<math>n(x)(x-a)=0</math> y además
<math>||n(a)(x-a)||=||(n(a)-n(x))(x-a)|| <=||n(a)-n(x)||||x-a||.</math>
Por lo tanto, dado que en es continua en a, concluimos que <math>n(a)=0</math> por consiguiente <math>\psi(a) = \phi(a)</math>
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Realizado por: [[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 15:49 4 dic 2012 (CST)
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'''2.2''' Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un conjunto abierto y <math>f,g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> funciones, si <math>z\in\Omega</math> y <math>f,g</math> diferenciables en <math>z</math>, entonces:
'''(1)''' <math>f+g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es diferenciables en <math>z</math> y además <math>(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)</math>.
'''(2)''' <math>f\cdot g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es diferenciables en <math>z</math> y además <math>(f\cdot g)'(z)=f(z)g'(z)+f'(z)g(z)</math>.
'''(3)''' Si <math>g\not=0</math>, <math>\displaystyle\frac{f}{g}:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es diferenciables en <math>z</math> y además si <math>\displaystyle\frac{f}{g}=\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^2}</math>.
'''Demostración'''
De la derivación a la Carathéodory tenemos que <math>f'(z)=\varphi(z)=\displaystyle\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math>.
'''Inciso 1'''
'''(1)''' <math>(f+g)'(z)=\displaystyle\frac{(f+g)'(z)-(f+g)(z_0)}{z-z_0}=\displaystyle\frac{f(z)+g(z)-f(z_0)-g(z_0)}{z-z_0}</math>
=<math>\displaystyle\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}+\displaystyle\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}=f'(z)+g'(z)</math>
'''Inciso 2'''
'''(2)''' <math>(f\cdot g)'(z)=\displaystyle\frac{(f\cdot g)(z)-(f\cdot g)(z)}{z-z_0}=\displaystyle\frac{f(z)g(z)-f(z_0)g(z_0)}{z-z_0}</math>
<math>=\displaystyle\frac{f(z)g(z)-f(z_0)g(z_0)+f(z)g(z_0)-f(z)g(z_0)+f(z_0)g(z)-f(z_0)g(z)+f(z)g(z)-f(z)g(z)}{z-z_0}</math>
<math>=f(z)\displaystyle\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}+g(z)\displaystyle\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}+\big(f(z)-f(z_0)\big)\displaystyle\frac{g(z_0)-g(z)}{z-z_0}</math>
<math>=f(z)g'(z)+f'(z)g(z)</math>, pues cuando <math>z\longrightarrow z_0</math> <math>f(z)-f(z_0)\longrightarrow 0</math>
'''Inciso 3'''
'''(3)''' Sea <math>h(z)=\frac{1}{g(z)}</math>, entonces
<math>h'(z)=\displaystyle\frac{h(z)-h(z_0)}{z-z_0}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{g(z)}-\frac{1}{g(z_0)}}{z-z_0}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{g(z_0)-g(z)}{g(z)g(z_0)}}{z-z_0}</math>
<math>=-\displaystyle\frac{1}{g(z)g(z_0)}\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}</math> como <math>z\longrightarrow z_0</math> entonces
<math>h'(z)=-\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)^2}</math>, luego, del inciso '''(2)''' se tiene que
<math>(f\cdot h)'(z)=f(z)h'(z)+f'(z)h(z)=-f(z)\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)^2}+f'(z)\displaystyle\frac{1}{g(z)}</math>
<math>=\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^2}</math>
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Realizado por: [[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 23:18 27 nov 2012 (CST)
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'''2.5 (Teorema del valor medio) Si <math>a,b \in \mathbb{R}</math> con <math>a<b \mathcal{F} :\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}</math>, es continua y además es derivable en <math>\left(a,b\right)</math>, demuestre que existe un <math>\epsilon \in \left(a,b\right)</math>, tal que:'''
<math>\mathcal{F}^'\left(\epsilon\right) =\frac{\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)}{\left(b-a\right)}.</math>
'''Inciso 3'''
''Suponemos una función <math>\mathcal{g}\left(x\right)=\mathcal{F}\left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, como <math>\mathcal{F}\left(x\right)</math> es continua en <math>\left[a,b\right]</math>, aparte la otra función <math>-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, es continua en el intervalo entonces <math>\mathcal{g}\left(x\right)</math> también lo es.''
''Obtengamos su derivada:''
<math>\mathcal{g}^' \left(x\right) = \mathcal{F}^' \left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right).</math>
''Es diferenciable en <math>\left(a,b\right)</math> al igual que <math>\mathcal{F}\left(x\right).</math>''
''Ahora, notemos:''
<math>\mathcal{g}\left(a\right)= b\mathcal{F}\left(a\right)-a\mathcal{F}\left(a\right)-\mathcal{F}\left(b\right)+a\mathcal{F}\left(a\right)=b\mathcal{F}\left(a\right)-a\mathcal{F}\left(b\right)</math>
<math>=b\mathcal{F}\left(b\right)-a\mathcal{F}\left(b\right)-b\mathcal{F}\left(b\right)+b\mathcal{F}\left(a\right)</math>
<math>=\mathcal{F}\left(b\right)\left(b-a\right)-b\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>
<math>=\mathcal{g}\left(b\right).</math>
''El Teorema de Rolle, nos dice que exite <math>\epsilon</math> en <math>\left(a,b\right)</math> tal que:''
<math>0=\mathcal{g}^' \left(\epsilon\right)=\mathcal{F}^' \left(\epsilon\right)\left(b-a\right)-\left(\mathcal{F} \left(b\right)-\mathcal{F} \left(a\right)\right)\Rightarrow \mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)= \mathcal{F}^' \left(\epsilon\right)\left(b-a\right).</math>
[[Archivo:theorem.jpg|mean value]]
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Realizado por: [[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 01:09 29 nov 2012 (CST)
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'''2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si <math>f:(a,b)\to \mathbb{R} </math> es continua e inyectiva y para <math>\xi \in (a,b), \mbox{  } f'(\xi)</math> existe y no es nula, para la inversa <math>g</math> de <math>f</math> se tiene que <math>g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>.'''
Demostración.<br/>
Sea <math>w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/>
Como <math>f</math> es derivable en <math>\xi</math>, tenemos que <math>f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{  } \forall \mbox{  } x \in (a,b),</math> <br/>
donde <math>\varphi</math> es continnua en <math>\xi</math>.<br/>
Consideremos que <math>I</math> es un intervalo abierto contenido en el dominio de <math>g=f^{-1}</math>, entonces<br/>
<math>y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{  } \forall \mbox{  } y \in I</math>.<br/>
Por tanto <math>[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)</math>,<br/>
donde <math>g=f^{-1}</math> es continua en <math>I</math> y <math>\varphi</math> continua en <math>f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/>
Así que <math>\frac{(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}</math> es continua en <math>w</math>. Luego <math>f^{-1}=g</math> es derivable en <math>w</math> y <math>(f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}</math><br/>
<math>\Rightarrow g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>.
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Comentario por: [[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 17:29 27 nov 2012 (CST)
'''Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.'''
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Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:12 22 nov 2012 (CST)
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'''2.8''' Si <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> es una región y <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función <math>F:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> tal que <math>F'=f</math>, demuestre que cualquiera dos primitivas de <math>f</math> difieren solo por una constante.
'''Demostración:'''
Sean <math>F,G:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> dos primitivas de <math>f</math>, entonces <math>F'=f</math> & <math>G'=f</math>, luego <math>(F-G)'=F'-G'=0</math>, luego, por la proposición 2.5, <math>F-G=constante</math>, es decir, que las funciones <math>F</math> & <math>G</math> difieren solo por una constante.
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Realizado por: [[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 23:33 27 nov 2012 (CST)
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--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)



Revisión actual - 13:53 4 may 2023

Derivadas

2.1. En la formulación de Caratheodory, demuestre que a lo mas hay una única función que satisface las condiciones impuestas.

Por definición tenemos que para todo

Se tienen dos consecuencias inmediatas.

  • Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a.
  • Si f es diferenciable en a, existe al menos una función que satisface la diferencia; además si existe

Por lo que existe una que satisfacen las condiciones dadas previamente.

Demostración

Suponemos que y son dos funciones tales que y . Sea . Entonces y además

Por lo tanto, dado que en es continua en a, concluimos que por consiguiente



Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 15:49 4 dic 2012 (CST)



2.2 Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados un conjunto abierto y funciones, si y diferenciables en , entonces:

(1) es diferenciables en y además .

(2) es diferenciables en y además .

(3) Si , es diferenciables en y además si .

Demostración

De la derivación a la Carathéodory tenemos que .

Inciso 1


(1)

=

Inciso 2

(2)

, pues cuando

Inciso 3

(3) Sea , entonces

como entonces

, luego, del inciso (2) se tiene que


Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:18 27 nov 2012 (CST)



2.5 (Teorema del valor medio) Si con , es continua y además es derivable en , demuestre que existe un , tal que:


Inciso 3

Suponemos una función , como es continua en , aparte la otra función , es continua en el intervalo entonces también lo es.


Obtengamos su derivada:



Es diferenciable en al igual que


Ahora, notemos:






El Teorema de Rolle, nos dice que exite en tal que:



mean value



Realizado por: Luis Antonio (discusión) 01:09 29 nov 2012 (CST)



2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si es continua e inyectiva y para existe y no es nula, para la inversa de se tiene que .

Demostración.
Sea .
Como es derivable en , tenemos que
donde es continnua en .
Consideremos que es un intervalo abierto contenido en el dominio de , entonces
.
Por tanto ,
donde es continua en y continua en .
Así que es continua en . Luego es derivable en y
.




Comentario por: Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)

Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.


Realizado por: Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)


2.8 Si es una región y es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función tal que , demuestre que cualquiera dos primitivas de difieren solo por una constante.

Demostración:

Sean dos primitivas de , entonces & , luego , luego, por la proposición 2.5, , es decir, que las funciones & difieren solo por una constante.


Realizado por: Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:33 27 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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