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2.1. En la formulación de Caratheodory, demuestre que a lo mas hay una única | |||
función <math>\phi</math> que satisface las condiciones impuestas. | |||
Por definición tenemos que <math>f(x)-f(a)=\phi_{f}(x,a)(x-a)</math> para todo <math>x \in Omega</math> | |||
Se tienen dos consecuencias inmediatas | |||
-Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a. | |||
-Si f es diferenciable en a, existe al menos una función <math>\phi</math> que satisface la diferencia; además si <math>f´(a)</math> existe <math>f´(a) = \phi(a)</math> | |||
Por lo que existe una <math>\phi (a) = \psi (a)</math> que satisfacen las condiciones dadas previamente. | |||
Demostración | |||
Suponemos que <math>\psi</math> y <math>\phi</math> son dos funciones tales que <math>\psi(a) = f´(a)</math> y <math>\phi(a) = f´(a)</math>. | |||
Sea <math>n(x) = \psi(x)-\phi(x)</math>. Entonces | |||
<math>n(x)(x-a)=0</math> y además | |||
<math>||n(a)(x-a)||=||(n(a)-n(x))(x-a)|| <=||n(a)-n(x)||||x-a||.</math> | |||
Por lo tanto, dado que en es continua en a, concluimos que <math>n(a)=0</math> por consiguiente <math>\psi(a) = \phi(a)</math> | |||
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 15:49 4 dic 2012 (CST) | |||
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'''2.2''' Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un conjunto abierto y <math>f,g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> funciones, si <math>z\in\Omega</math> y <math>f,g</math> diferenciables en <math>z</math>, entonces: | '''2.2''' Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados <math>\Omega\subseteq\mathbb{C}</math> un conjunto abierto y <math>f,g:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> funciones, si <math>z\in\Omega</math> y <math>f,g</math> diferenciables en <math>z</math>, entonces: | ||
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--[[Usuario: | |||
'''2.5 (Teorema del valor medio) Si <math>a,b \in \mathbb{R}</math> con <math>a<b \mathcal{F} :\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}</math>, es continua y además es derivable en <math>\left(a,b\right)</math>, demuestre que existe un <math>\epsilon \in \left(a,b\right)</math>, tal que:''' | |||
<math>\mathcal{F}^´\left(\epsilon\right) =\frac{\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)}{\left(b-a\right)}.</math> | |||
''Suponemos una función <math>\mathcal{g}\left(x\right)=\mathcal{F}\left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, como <math>\mathcal{F}\left(x\right)</math> es continua en <math>\left[a,b\right]</math>, aparte la otra función <math>-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math>, es continua en el intervalo entonces <math>\mathcal{g}\left(x\right)</math> también lo es.'' | |||
''Obtengamos su derivada;'' | |||
<math>\mathcal{g}^´ \left(x\right) = \mathcal{F}^´ \left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right).</math> | |||
''Es diferenciable en <math>\left(a,b\right)</math> al igual que <math>\mathcal{F}\left(x\right).</math>'' | |||
''Ahora, notemos;'' | |||
<math>\mathcal{g}\left(a\right)= b\mathcal{F}\left(a\right)-a\mathcal{F}\left(a\right)-\mathcal{F}\left(b\right)+a\mathcal{F}\left(a\right)=b\mathcal{F}\left(a\right)-a\mathcal{F}\left(b\right)</math> | |||
<math>=b\mathcal{F}\left(b\right)-a\mathcal{F}\left(b\right)-b\mathcal{F}\left(b\right)+b\mathcal{F}\left(a\right)</math> | |||
<math>=\mathcal{F}\left(b\right)\left(b-a\right)-b\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right)</math> | |||
<math>=\mathcal{g}\left(b\right).</math> | |||
''El Teorema de Rolle, nos dice que exite <math>\epsilon</math> en <math>\left(a,b\right)</math> tal que;'' | |||
<math>0=\mathcal{g}^´ \left(\epsilon\right)=\mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right)-\left(\mathcal{F} \left(b\right)-\mathcal{F} \left(a\right)\right)\Rightarrow \mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)= \mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right).</math> | |||
[[Archivo:theorem.jpg|mean value]] | |||
--[[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 01:09 29 nov 2012 (CST) | |||
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Revisión del 07:22 5 dic 2012
Derivadas
2.1. En la formulación de Caratheodory, demuestre que a lo mas hay una única función que satisface las condiciones impuestas.
Por definición tenemos que para todo
Se tienen dos consecuencias inmediatas -Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a. -Si f es diferenciable en a, existe al menos una función que satisface la diferencia; además si Error al representar (error de sintaxis): f´(a) existe Error al representar (error de sintaxis): f´(a) = \phi(a) Por lo que existe una que satisfacen las condiciones dadas previamente. Demostración Suponemos que y son dos funciones tales que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(a) = f´(a) y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \phi(a) = f´(a) . Sea . Entonces y además
Por lo tanto, dado que en es continua en a, concluimos que por consiguiente
--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 15:49 4 dic 2012 (CST)
2.2 Usando la caracterización de Carathéodory, demostrar que dados un conjunto abierto y funciones, si y diferenciables en , entonces:
(1) es diferenciables en y además .
(2) es diferenciables en y además .
(3) Si , es diferenciables en y además si Error al representar (error de sintaxis): \displaystyle\frac{f}{g}=\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)²} .
- Demostración:
De la derivación a la Carathéodory tenemos que .
(1)
=
(2)
, pues cuando
(3) Sea , entonces
como entonces
Error al representar (error de sintaxis): h'(z)=-\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)²} , luego, del enciso (2) se tiene que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (f\cdot h)'(z)=f(z)h'(z)+f'(z)h(z)=-f(z)\displaystyle\frac{g'(z)}{g(z)²}+f'(z)\displaystyle\frac{1}{g(z)}
Error al representar (error de sintaxis): =\displaystyle\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{g(z)²}
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:18 27 nov 2012 (CST)
2.5 (Teorema del valor medio) Si con , es continua y además es derivable en , demuestre que existe un , tal que:
Error al representar (error de sintaxis): \mathcal{F}^´\left(\epsilon\right) =\frac{\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)}{\left(b-a\right)}.
Suponemos una función , como es continua en , aparte la otra función , es continua en el intervalo entonces también lo es.
Obtengamos su derivada;
Error al representar (error de sintaxis): \mathcal{g}^´ \left(x\right) = \mathcal{F}^´ \left(x\right)\left(b-a\right)-x\left(\mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)\right).
Es diferenciable en al igual que
Ahora, notemos;
El Teorema de Rolle, nos dice que exite en tal que;
Error al representar (error de sintaxis): 0=\mathcal{g}^´ \left(\epsilon\right)=\mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right)-\left(\mathcal{F} \left(b\right)-\mathcal{F} \left(a\right)\right)\Rightarrow \mathcal{F}\left(b\right)-\mathcal{F}\left(a\right)= \mathcal{F}^´ \left(\epsilon\right)\left(b-a\right).
--Luis Antonio (discusión) 01:09 29 nov 2012 (CST)
2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si es continua e inyectiva y para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi)
existe y no es nula, para la inversa de se tiene que .
Demostración.
Sea .
Como es derivable en , tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),
donde es continnua en .
Consideremos que es un intervalo abierto contenido en el dominio de , entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I
.
Por tanto ,
donde es continua en y continua en .
Así que es continua en . Luego es derivable en y
.
Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.--Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)
--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)
2.8 Si es una región y es una función que tiene una primitiva, es decir, otra función tal que , demuestre que cualquiera dos primitivas de difieren solo por una constante.
- Demostración:
Sean dos primitivas de , entonces & , luego , luego, por la proposición 2.5, , es decir, que las funciones & difieren solo por una constante.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 23:33 27 nov 2012 (CST)