Compleja:z-ej-cap2.1

Derivadas

2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ es continua e inyectiva y para Error al representar (error de sintaxis): \xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi) existe y no es nula, para la inversa $g$ de $f$ se tiene que $g'(f(\xi ))={\frac {1}{f'(\xi )}}$.

Demostración.
Sea $w=f(\xi )\Rightarrow f^{-1}(f(\xi ))=f^{-1}(w)=\xi$.
Como $f$ es derivable en $\xi$, tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),
donde $\varphi$ es continnua en $\xi$.
Consideremos que $I$ es un intervalo abierto contenido en el dominio de $g=f^{-1}$, entonces
Error al representar (error de sintaxis): y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I .
Por tanto $[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]={\frac {1}{\varphi (f^{-1}(y))}}(y-w)$,
donde $g=f^{-1}$ es continua en $I$ y $\varphi$ continua en $f^{-1}(w)=\xi$.
Así que ${\frac {(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}}$ es continua en $w$. Luego $f^{-1}=g$ es derivable en $w$ y $(f^{-1})'(w)={\frac {1}{\varphi (f^{-1}(w))}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(w))}}$
$\Rightarrow g'(f(\xi ))={\frac {1}{f'(\xi )}}$.

Hola Belen me parece bien como desarrollas el problema, sin embargo estaría muy bien que especificaras bien tus variables con la relación de Cathéodory,para que no te pierdas ó más bien nos perdamos.--Luis Antonio (discusión) 17:29 27 nov 2012 (CST)

--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)

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--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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