Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap2.1»

De luz-wiki
m (Mfgwiki movió la página Compleja:z-ej-cap2.0 a Compleja:z-ej-cap2.1 sin dejar una redirección)
Línea 1: Línea 1:
 +
==Derivadas==
 +
 +
'''2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si <math>f:(a,b)\to \mathbb{R} </math> es continua e inyectiva y para <math>\xi ∈ (a,b), \mbox{  } f'(\xi)</math> existe y no es nula, para la inversa <math>g</math> de <math>f</math> se tiene que <math>g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>.'''
 +
 +
Demostración.<br/>
 +
Sea <math>w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/>
 +
Como <math>f</math> es derivable en <math>\xi</math>, tenemos que <math>f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{  } \forall \mbox{  } x∈(a,b),</math> <br/>
 +
donde <math>\varphi</math> es continnua en <math>\xi</math>.<br/>
 +
Consideremos que <math>I</math> es un intervalo abierto contenido en el dominio de <math>g=f^{-1}</math>, entonces<br/>
 +
<math>y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{  } \forall \mbox{  } y ∈ I</math>.<br/>
 +
Por tanto <math>[f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)</math>,<br/>
 +
donde <math>g=f^{-1}</math> es continua en <math>I</math> y <math>\varphi</math> continua en <math>f^{-1}(w)=\xi</math>.<br/>
 +
Así que <math>\frac{(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}</math> es continua en <math>w</math>. Luego <math>f^{-1}=g</math> es derivable en <math>w</math> y <math>(f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}</math><br/>
 +
<math>\Rightarrow g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}</math>.
 +
 +
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 23:12 22 nov 2012 (CST)
 +
 +
----
 +
 +
 
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
 
--[[Usuario:Mfgwiki|mfg-wiki]] ([[Usuario discusión:Mfgwiki|discusión]]) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
  

Revisión del 00:12 23 nov 2012

Derivadas

2.7. (Derivada de la función inversa para funciones reales). Usando la formulación de Carathéodory, demuestre que si \(f:(a,b)\to \mathbb{R} \) es continua e inyectiva y para \(\xi ∈ (a,b), \mbox{ } f'(\xi)\) existe y no es nula, para la inversa \(g\) de \(f\) se tiene que \(g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}\).

Demostración.
Sea \(w=f(\xi) \Rightarrow f^{-1}(f(\xi))=f^{-1}(w)=\xi\).
Como \(f\) es derivable en \(\xi\), tenemos que \(f(x)-f(\xi)=\varphi(x)(x-\xi) \mbox{ } \forall \mbox{ } x∈(a,b),\)
donde \(\varphi\) es continnua en \(\xi\).
Consideremos que \(I\) es un intervalo abierto contenido en el dominio de \(g=f^{-1}\), entonces
\(y-w=f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(w))=\varphi(f^{-1}(y))(f^{-1}(y)-f^{-1}(w)) \mbox{ } \forall \mbox{ } y ∈ I\).
Por tanto \([f^{-1}(y)-f^{-1}(w)]=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(y))}(y-w)\),
donde \(g=f^{-1}\) es continua en \(I\) y \(\varphi\) continua en \(f^{-1}(w)=\xi\).
Así que \(\frac{(a,b)}{\varphi \circ f^{-1}}\) es continua en \(w\). Luego \(f^{-1}=g\) es derivable en \(w\) y \((f^{-1})'(w)=\frac{1}{\varphi(f^{-1}(w))}=\frac{1}{f'(f^{-1}(w))}\)
\(\Rightarrow g'(f(\xi))=\frac{1}{f'(\xi)}\).

--Belen (discusión) 23:12 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2

Compleja:z-ej-cap1.3

Compleja:z-ej-cap1.4