Compleja:z-ej-cap1.4

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La esfera de Riemann y el plano extendido

1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en corresponde a un círculo T en el plano . Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en es una recta.

Un círculo en S en es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma .
Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo

donde por tanto



Si , tenemos
, i.e., , la ecuación de una recta.

Si , completando cuadrados:
.
.
, la ecuación de un círculo con centro en y radio .

--Belen (discusión) 22:51 22 nov 2012 (CST)


1.71.Si ,, demuestre que


.


cle


Sea ,

Por triángulos semejantes y , implica .


Pero y , entonces


y

El plano N_z1z2, intersecta a S en un circulo,.


Vemos que,


los triangulos N_z1z2 y N_Z1Z2, son semejantes, entonces;


Hacemos


--Luis Antonio (discusión) 09:39 28 nov 2012 (CST)


--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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