Compleja:z-ej-cap1.4

La esfera de Riemann y el plano extendido

1.67. Usando la proyección estereográfica demuestre que la proyección de un círculo S en $\mathbb {S}$ corresponde a un círculo T en el plano $\mathbb {C}$. Demuestre que si S contiene al polo norte, entonces su proyección T en $\mathbb {C}$ es una recta.

Un círculo en S en $\mathbb {S}$ es la intersección de un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la forma $Ax+By+Cz=D$.
Por tanto este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica (2), satisfaciendo
$A\left({\frac {2x}{1+|w|^{2}}}\right)+B\left({\frac {2y}{1+|w|^{2}}}\right)+c\left({\frac {|w|^{2}-1}{1+|w|^{2}}}\right)=D,$
donde $w=(x,y,0),$ por tanto $|w|^{2}=x^{2}+y^{2}$
$\Rightarrow 2Ax+2By+(x^{2}+y^{2}-1)C=D(1+x^{2}+y^{2})$
$\Rightarrow 2Ax+2By+Cx^{2}+Cy^{2}-C=Dx^{2}+Dy^{2}+D$
$\Rightarrow (C-D)x^{2}+2Ax+(C-D)y^{2}+2By-(C+D)=0$

Si $C=D$, tenemos
$2Ax+2By=2C$, i.e., $Ax+By=C$, la ecuación de una recta.

Si $C\neq D$, completando cuadrados:
$x^{2}+2{\frac {A}{C-D}}x+\left({\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+y^{2}+2{\frac {B}{C-D}}y+\left({\frac {B}{C-D}}\right)^{2}={\frac {C+D}{C-D}}+\left({\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+\left({\frac {B}{C-D}}\right)^{2}$.
$\Rightarrow \left(x+{\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {B}{C-D}}\right)^{2}={\frac {(C+D)(C-D)+A^{2}+B^{2}}{(C-D)^{2}}}={\frac {C^{2}-D^{2}+A^{2}+B^{2}}{(C-D)^{2}}}$.
$\Rightarrow \left(x+{\frac {A}{C-D}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {B}{C-D}}\right)^{2}={\frac {A^{2}+B^{2}+C^{2}-D^{2}}{(C-D)^{2}}}$, la ecuación de un círculo con centro en $\left(-{\frac {A}{C-D}},-{\frac {B}{C-D}}\right)$ y radio $r={\frac {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}-D^{2}}}{C-D}}$.

--Belen (discusión) 22:51 22 nov 2012 (CST)

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--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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