Funciones de una variable compleja
1.63. Una función se dice que es Lipschitz si existe una constante Error al representar (error de sintaxis): L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega
. Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.
Recordemos que una función es uniformemente continua si para todo siempre que .
Demostración.
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega,
dado ,
tenemos que, si
i.e.,
siempre que . Por tanto es uniformemente continua.
--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)
1.64 Si ,demuestre que la función dada por es de Lipschitz
- Demostración:
Sean ,como , tiene sentido hablar de la distacia entre un punto en con un punto en , luego
pues , entonces
, es decir
, con
Por lo tanto la función es de Lipschitz
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)
1.65 Demuestre que la función dada por es de Lipschitz.
- Demostración:
Sean , entonces
por la desigualdad del triángulo
con
Por lo tanto la función es de Lipschitz.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)
1.66. Demuestre que la función dada por no es de Lipschitz.
Sean Error al representar (error de sintaxis): x_1, x_2 ∈ \mathbb{R}
.
Tenemos que ,
pero como se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que no es de Lipschitz.
--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)
--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)
Compleja:z-ej-cap1.0
Compleja:z-ej-cap1.1
Compleja:z-ej-cap1.2