Compleja:z-ej-cap1.3

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Funciones de una variable compleja

1.63. Una función se dice que es Lipschitz si existe una constante Error al representar (error de sintaxis): L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega . Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.

Recordemos que una función es uniformemente continua si para todo siempre que .

Demostración.
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega, dado ,
tenemos que, si
i.e.,
siempre que . Por tanto es uniformemente continua.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)


1.64 Si ,demuestre que la función dada por es de Lipschitz

Demostración:

Sean ,como , tiene sentido hablar de la distacia entre un punto en con un punto en , luego

pues , entonces

, es decir

, con

Por lo tanto la función es de Lipschitz

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)


1.65 Demuestre que la función dada por es de Lipschitz.

Demostración:

Sean , entonces

por la desigualdad del triángulo

con

Por lo tanto la función es de Lipschitz.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)


1.66. Demuestre que la función dada por no es de Lipschitz.

Sean Error al representar (error de sintaxis): x_1, x_2 ∈ \mathbb{R} .
Tenemos que ,
pero como se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que no es de Lipschitz.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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