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==Funciones de una variable compleja==
==Funciones de una variable compleja==
'''1.61. Un punto <math>z_{0}\epsilon\Omega </math> se dice que es aislado si existe un disco <math>B(z_{0};\varepsilon) </math> con <math>\varepsilon>0 </math>, tal que <math>\Omega\cap B(z_{0};\varepsilon)=\left\{ z_{0}\right\} </math>. Demuestre que si <math>z_{0}\epsilon\Omega </math>, entonces <math>z_{0}</math> es un punto aislado o un punto de acumulación de <math>\Omega</math>.'''
En primer lugar supongamos que <math>z_{0}</math> un punto aislado de <math>\Omega</math>, por lo que cumple que <math>\Omega\cap B(z_{0};\varepsilon)=\left\{ z_{0}\right\} </math>, veremos si es un punto de acumulación, entonces <math>(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )</math> nos da una bola de radio <math>\varepsilon</math> pero sin su centro (<math>z_{0}</math>) y la intersección de <math>\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )</math> nos da necesariamente el vacio pues eliminamos al único elemento de <math>\Omega</math>, <math>z_{0}</math>. Por lo que nos es punto de acumulación.
Ahora supongamos que <math>z_{0}</math> s un punto de acumulación por lo tanto cumple que <math>\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\neq\textrm{Ø} </math> veremos si es un punto aislado. Al ver este caso nos percatamos que el caso más extremo es aquel en el que el punto de acumulación está afuera y la bola toca solo un punto frontera de <math>Omega </math> (los demás casos serían más simples de resolver), aquí vemos que <math>z_{0}</math> no se encuentra  en <math>\Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} ) </math> solo el punto al que nos referimos anteriormente. Por lo tanto no cumple con ser un punto aislado.
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 03:47 29 nov 2012 (CST)
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'''1.62. Si <math>z_{0}\epsilon\Omega </math> es un punto aislado, demuestre que cualquier función <math>f:\Omega\rightarrow\mathbb{C} </math> es continua en <math>z_{0}</math>.'''
Como es punto aislado cumple con la definición dada en el ejercicio anterior, aplicando la definición de continuidad a los conjuntos vemos para que sea continua la función para el disco abierto <math>B(f(z_{0});\varepsilon) </math> en un plano uv,  existe un disco abierto <math>B(f(z_{0});\delta) </math> en el plano de xy, tal que para todo <math>z\epsilon B(f(z_{0});\delta)\cap\Omega </math> se tiene tiene <math>f(z)\epsilon B(f(z_{0});\varepsilon) </math>. Lo cual es cierto para un punto aislado ya que bola en el plano xy con radio <math>\delta </math> se interseca con <math>\Omega</math> solamente en <math>z_{0}</math> por definición, para que cumpliera la continuidad ese elemento tiene que dar forzosamente a un punto en <math> B(f(z_{0});\varepsilon)
</math> , en este caso es el centro; lo que era de esperarse pues era una condición impuesta al principio. Por lo tanto cualquier función es continua en un punto aislado.
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 03:47 29 nov 2012 (CST)
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'''1.63. Una función <math>f:\Omega \to \mathbb {C} </math> se dice que es Lipschitz si existe una constante <math> L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{  } \forall \mbox{  } z,w ∈ \Omega </math>. Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.'''
'''1.63. Una función <math>f:\Omega \to \mathbb {C} </math> se dice que es Lipschitz si existe una constante <math> L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{  } \forall \mbox{  } z,w ∈ \Omega </math>. Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.'''

Revisión del 04:47 29 nov 2012

Funciones de una variable compleja

1.61. Un punto se dice que es aislado si existe un disco con , tal que . Demuestre que si , entonces es un punto aislado o un punto de acumulación de .

En primer lugar supongamos que un punto aislado de , por lo que cumple que , veremos si es un punto de acumulación, entonces nos da una bola de radio pero sin su centro () y la intersección de nos da necesariamente el vacio pues eliminamos al único elemento de , . Por lo que nos es punto de acumulación.

Ahora supongamos que s un punto de acumulación por lo tanto cumple que Error al representar (error de sintaxis): \Omega\cap(B(z_{0};\varepsilon)-\left\{ z_{0}\right\} )\neq\textrm{Ø} veremos si es un punto aislado. Al ver este caso nos percatamos que el caso más extremo es aquel en el que el punto de acumulación está afuera y la bola toca solo un punto frontera de (los demás casos serían más simples de resolver), aquí vemos que no se encuentra en solo el punto al que nos referimos anteriormente. Por lo tanto no cumple con ser un punto aislado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:47 29 nov 2012 (CST)



1.62. Si es un punto aislado, demuestre que cualquier función es continua en .

Como es punto aislado cumple con la definición dada en el ejercicio anterior, aplicando la definición de continuidad a los conjuntos vemos para que sea continua la función para el disco abierto en un plano uv, existe un disco abierto en el plano de xy, tal que para todo se tiene tiene . Lo cual es cierto para un punto aislado ya que bola en el plano xy con radio se interseca con solamente en por definición, para que cumpliera la continuidad ese elemento tiene que dar forzosamente a un punto en , en este caso es el centro; lo que era de esperarse pues era una condición impuesta al principio. Por lo tanto cualquier función es continua en un punto aislado.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:47 29 nov 2012 (CST)



1.63. Una función se dice que es Lipschitz si existe una constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega . Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.

Recordemos que una función es uniformemente continua si para todo siempre que .

Demostración.
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega, dado ,
tenemos que, si
i.e.,
siempre que . Por tanto es uniformemente continua.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)


1.64 Si ,demuestre que la función dada por es de Lipschitz

Demostración:

Sean ,como , tiene sentido hablar de la distacia entre un punto en con un punto en , luego

pues , entonces

, es decir

, con

Por lo tanto la función es de Lipschitz

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)


1.65 Demuestre que la función dada por es de Lipschitz.

Demostración:

Sean , entonces

por la desigualdad del triángulo

con

Por lo tanto la función es de Lipschitz.

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)


1.66. Demuestre que la función dada por no es de Lipschitz.

Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x_1, x_2 ∈ \mathbb{R} .
Tenemos que ,
pero como se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que no es de Lipschitz.

--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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