Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.3»
Sin resumen de edición |
|||
Línea 12: | Línea 12: | ||
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:50 22 nov 2012 (CST) | --[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:50 22 nov 2012 (CST) | ||
---- | |||
'''1.64''' Si <math>\emptyset\not=A\subseteq\Omega\subseteq\mathbb{C}</math>,demuestre que la función <math>f:\Omega\longrightarrow\mathbb{C}</math> dada por <math>f(z)=d(z,A)</math> es de Lipschitz | |||
:'''Demostración:''' | |||
Sean <math>z,w\in\Omega</math>,como <math>A\not=\emptyset</math>, tiene sentido hablar de la distacia entre un punto en <math>\Omega</math> con un punto en <math>A</math>, luego | |||
<math>|f(z)-f(w)|=|d(z,A)-d(w,A)|\leq|d(z,w)+d(w,A)-d(w,A)</math> | |||
pues <math>0\leq d(z,A)\leq d(z,w)+d(w,A)</math>, entonces | |||
<math>|f(z)-f(w)|\leq|d(z,w)|=d(z,w)=|z-w|</math>, es decir | |||
<math>|f(z)-f(w)|\leq|x-w|\leq L|x-w|</math>, con <math>L\geq1</math> | |||
Por lo tanto la función <math>f(z)=d(z,A)</math> es de Lipschitz | |||
--[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:31 27 nov 2012 (CST) | |||
---- | |||
'''1.65''' Demuestre que la función <math>f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}</math> dada por <math>f(z)=|z|</math> es de Lipschitz. | |||
:'''Demostración:''' | |||
Sean <math>z,w\in\mathbb{C}</math>, entonces | |||
<math>|f(z)-f(w)|=\bigg||z|-|w|\bigg|=\bigg||z+w-w|-|w|\bigg|</math> por la desigualdad del triángulo | |||
<math>|f(z)-f(w)|\leq\bigg||z-w|+|w|-|w|\bigg|=\bigg||z-w|\bigg|=|z-w|\leq L|z-w|</math> con <math>L\geq1</math> | |||
Por lo tanto la función <math>f(z)=|z|</math> es de Lipschitz. | |||
--[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 20:31 27 nov 2012 (CST) | |||
---- | ---- |
Revisión del 21:31 27 nov 2012
Funciones de una variable compleja
1.63. Una función se dice que es Lipschitz si existe una constante Error al representar (error de sintaxis): L > 0 \mbox{ tal que } |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega . Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.
Recordemos que una función es uniformemente continua si para todo siempre que .
Demostración.
Puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |f(z)-f(w)| \le L |z-w| \mbox{ con } L>0 \mbox{ } \forall \mbox{ } z,w ∈ \Omega,
dado ,
tenemos que, si
i.e.,
siempre que . Por tanto es uniformemente continua.
--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)
1.64 Si ,demuestre que la función dada por es de Lipschitz
- Demostración:
Sean ,como , tiene sentido hablar de la distacia entre un punto en con un punto en , luego
pues , entonces
, es decir
, con
Por lo tanto la función es de Lipschitz
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)
1.65 Demuestre que la función dada por es de Lipschitz.
- Demostración:
Sean , entonces
por la desigualdad del triángulo
con
Por lo tanto la función es de Lipschitz.
--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:31 27 nov 2012 (CST)
1.66. Demuestre que la función dada por no es de Lipschitz.
Sean Error al representar (error de sintaxis): x_1, x_2 ∈ \mathbb{R}
.
Tenemos que ,
pero como se puede hacer arbitrariamente grande, resulta que no es de Lipschitz.
--Belen (discusión) 21:50 22 nov 2012 (CST)