Compleja:z-ej-cap1.2

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Sucesiones y series de números complejos

1.29) Si es una sucesión convergente en , demuestre que su límite es único. Si y son dos sucesiones convergentes, con límites , respectivamente, demuestre que:

1)La suma de las sucesiones converge a
2)El producto de las sucesiones converge a
3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones converge a

Demostración

Primero demostraremos que el límite es único.
Supongamos que la sucesión tuviera dos límites distintos, digamos
Sea >0. Entonces, por definición, existen números naturales tales que si y si .
Llamando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se debe cumplir que:

si y si . De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser

es una contradicción, entonces el límite es único.


1)Sea , existen enteros positivos y tales que si y si .

Tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene:
para cada
Error al representar (error de sintaxis): \therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})


2) Sea una sucesión convergente, entonces existe un t.q.

Entonces
Sin embargo tal que
Entonces
tomando Error al representar (error de sintaxis): n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\} se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ab = lím_{n}(a_{n}b_{n})


3)Consideremos una cota inferior para la sucesión en lugar de una acotación superior.

Puesto que 0 y |Error al representar (error de sintaxis): b|=lím_{n}|b_{n}| , sea existe tal que Error al representar (error de sintaxis): \\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}| , para .
Si , obtenemos:
Sea tal que:
Si tomamos debe cumplirse que
Para

--cecy (discusión) 21:12 27 nov 2012 (CST)


1.32 Si demuestre quees un punto de acumulación de .


Un punto se dice que es un punto de acumulación , si al menos alrededor de contiene un punto . Entonces si , este contiene todos sus puntos de acumulación


Ayudandonos del lema 1.12


si , un punto de acumulción de si y sólo sí existe una sucesión, tal que


.


Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite


si es un punto de acumulación de , y , por lo tanto


Hay una bola centrado en , y pasa que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq &Oslash;} .


Por el ejercicio 1.21, tenemos que , entonces si hay una sucesión , tal que sea convergente, osea .

--Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)



1.34 Demuestre que diámetro , para todo .

sea y con


por otro lado

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)




1.35 Demuestre que si es convergente, entonces la sucesión converge a 0.La afirmación recíproca es falsa: considere la serie armónica

Demostración: Para k grande entonces:

--Cesar (discusión) 20:55 27 nov 2012 (CST)


1.36. Demuestre que toda serie absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie se dice absolutamente convergente si y sólo si converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si converge, converge y , entonces converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si converge, entonces converge.
Es consecuencia de a) usando que .

c) Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} , entonces converge si y sólo si converge y converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} y convergente.
Como , por la proposición a) se deduce que converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)


1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R} y , demuestre que .

Proposición preliminar:

a) Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.

Demostración:
Tenemos que
Además

De aquí,

Demostración:

Sean

Primero supongamos que
Ya que , por la proposición a),
.

El recíproco:
Sea convergente, i.e., .
Supongamos
Tenemos que (*)
Por otra parte, fijemos .
Como
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede .

--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)


1.47 Demuestre que Criterio del cociente o la razón Sea una sucesión tal que: entonces:

1)Si B<1, la serie converge
2)Si B>1, la serie diverge
3)Si B=1, no hay información


Solución: Se cumple que: entonces:

Sean: , entonces: , por lo que:

--Cesar (discusión) 10:35 29 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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