Compleja:z-ej-cap1.2

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Sucesiones y series de números complejos=

1.36. Demuestre que toda serie absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie se dice absolutamente convergente si y sólo si converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si converge, converge y , entonces converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si converge, entonces converge.
Es consecuencia de a) usando que .

c) Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} , entonces converge si y sólo si converge y converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} y convergente.
Como , por la proposición a) se deduce que converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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