Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.2»

De luz-wiki
Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 26: Línea 26:


Por otro lado, si tomamos la serie <br/>
Por otro lado, si tomamos la serie <br/>
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{-1^n}{n} </math>, ésta converge, pero <br/>  
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} </math>, ésta converge, pero <br/>  
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} </math>. <br/>
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} </math>. <br/>
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.


--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST)
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST)
----
'''1.40 Si <math> \alpha ∈ \mathbb{R} </math> y <math> \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} </math>, demuestre que <math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math>.'''
<span style="color:#C71585"> Proposición preliminar:
<span style="color:#C71585"> a) Sean <math> \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} =  a.</math>
<span style="color:#C71585"> Demostración: <br/>
Tenemos que <math> \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. </math> <br/>
Además  <math> 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n </math><br/>
<math> \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. </math><br/>
De aquí, <math> \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a. <br/>
\Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a</math>
'''Demostración:'''
Sean <math> \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} </math>
Primero supongamos que <math>\limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math> <br/>
Ya que <math>  \underline {a}_n \le a_n \le \overline {a}_n </math>, por la proposición a), <br/>
<math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha </math>.
El recíproco: <br/>
Sea <math> \left\{ a_n \right\} </math> convergente, i.e., <math>\lim \left\{a_n \right\} = \alpha </math> . <br/>
Supongamos <math>\limsup \left\{a_n \right\}= \overline{\alpha} \mbox{ y }
\liminf \left\{a_n \right\} = \underline {\alpha}.</math> <br/>
Tenemos que <math>\overline {a}_n - \underline {a}_n = sup \left\{ |a_i-a_j| : i,j \ge n \right\}. </math> (*) <br/>
Por otra parte, fijemos <math> \epsilon > 0 \Rightarrow \exists n_0 \mbox{ tal que } |a_n-a| < \frac{\epsilon}{2} \mbox{ si } n \ge n_0 </math>.<br/>
Como <math>a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N. </math><br/>
De esto y con (*) tenemos que <math>\overline {a}_n - \underline {a}_n \le \epsilon, \mbox{ si } n \ge n_0 \Rightarrow | \overline{\alpha} - \underline {\alpha} | \le \epsilon, </math> <br/>
y como esto sucede <math> \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} </math>.
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST)


----
----

Revisión del 22:13 22 nov 2012

Sucesiones y series de números complejos=

1.36. Demuestre que toda serie absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie se dice absolutamente convergente si y sólo si converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si converge, converge y , entonces converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si converge, entonces converge.
Es consecuencia de a) usando que .

c) Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} , entonces converge si y sólo si converge y converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} y convergente.
Como , por la proposición a) se deduce que converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)


1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R} y , demuestre que .

Proposición preliminar:

a) Sean Error al representar (error de sintaxis): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.

Demostración:
Tenemos que
Además

De aquí,

Demostración:

Sean

Primero supongamos que
Ya que , por la proposición a),
.

El recíproco:
Sea convergente, i.e., .
Supongamos
Tenemos que (*)
Por otra parte, fijemos .
Como
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede .

--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1