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Línea 1: Línea 1:
==Sucesiones y series de números complejos==
==Sucesiones y series de números complejos==


1.29) '''Si <math>{z_n}</math> es una sucesión convergente en <math>\mathbb{C}</math>, demuestre que su límite es único. Si <math>z_{n}</math> y<math>w_{n}</math> son dos sucesiones convergentes, con límites <math>L_{1} y L_{2}</math>, respectivamente, demuestre que:
:1)La suma de las sucesiones <math>{a_n}+b_{n}</math> converge a <math>L_{1}+L_{2}</math>
:2)El producto de las sucesiones <math>{a_n}b_{n}</math>converge a <math>L_{1}L_{2}</math>
:3)El cociente (cuando está definido) de las sucesiones <math> \frac{a_{n}}{b_{n}}</math> converge a <math> \frac{L_{1}}{L_{2}} si L_{2}\ne0</math>


'''Demostración'''


:'''Primero demostraremos que el límite es único'''.
''1.32 Si <math>\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathbb{C}</math> demuestre que<math>\boldsymbol{\Omega}^- =\{Z \in \mathfrak{C}: Z \}</math>es un punto de acumulación de <math>\boldsymbol{\Omega}</math>.''
::Supongamos que la sucesión <math>(a_{n})_{n}</math> tuviera dos límites distintos, digamos <math>a\neq b</math>
 
:::Sea <math>\epsilon ={\frac{|a-b|}{4}}</math>>0. Entonces, por definición, existen números naturales <math>n_{1} y n_{2}</math> tales que <math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{2}</math>.
:::Llamando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se debe cumplir que:
<math>|a-a_{n}|<\epsilon </math> si <math>n>n_{0}</math> y <math>|b-b_{n}|<\epsilon
</math> si <math>n>n_{0}</math>. De donde se deduce que si n>n_{0} ha de ser
:::<math>|a-b|=|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| = \epsilon +\epsilon =2{\frac{|a-b|}{4}}={\frac{|a-b|}{2}}</math>
:::<math>\therefore 1<{\frac{1}{2}}</math> es una contradicción, entonces '''el límite es único.'''
 
 
'''1)'''Sea <math>\epsilon>0</math>, existen enteros positivos <math>n_{1} </math> y <math>n_{2}</math> tales que
<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math> n>n_{1}</math> y <math>|b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2}} </math> si <math>n>n_{2}</math>.
:Tomando <math>n_{0}=máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene:
 
::<math>|(a+b)-(a_{n}+b_{n})|\leq |a-a_{n}|+|b-b_{n}| \leq {\frac{\epsilon}{2}}+{\frac{\epsilon}{2}} = \epsilon</math> para cada <math>n>n_{0}</math>
 
::<math>\therefore a+b=lím_{n}(a_{n}+b_{n})</math>
 
 
'''2)''' Sea <math>a_{n}</math> una sucesión convergente, entonces existe un <math>\alpha>0</math> t.q. <math>|a_{n}|<\alpha </math> <math>\forall n \in\mathbb{N}</math>
::Entonces
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|= |ab-a_{n}b+a_{n}b-a_{n}b_{n})|
= |(a-a_{n})b+(b-b_{n})(a_{n})|
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})||a_{n}|
\leq |a-a_{n}||b|+|(b-b_{n})|\alpha</math>
::Sin embargo <math> a = lim_{n}a_{n} \textrm{  y  } b=lim_{n}b_{n} , \epsilon>0 \textrm{  existen  } n_{1},n_{2}\in \mathbb{N} \qquad</math> tal que
::<math>|a-a_{n}|<{\frac{\epsilon}{2(|b|+1)}} \textrm{ si  } n>n_{1} \qquad y \qquad |b-b_{n}|<{\frac{\epsilon}{2\alpha}} \textrm{ si  }n>n_{2}</math>
 
::Entonces
::<math>|ab-a_{n}b_{n}|< \frac{\epsilon |b|}{2(|b|)} + \frac{\epsilon \alpha}{2\alpha} = \epsilon</math>
 
::tomando <math>n_{0}= máx\{n_{1},n_{2}\}</math> se tiene que <math> ab = lím_{n}(a_{n}b_{n}) </math>
 
 
'''3)'''Consideremos una cota inferior para la sucesión <math>(b_{n})_{n}</math> en lugar de una acotación superior.
::Puesto que <math>b\neq</math> 0 y |<math>b|=lím_{n}|b_{n}|</math>, sea <math>\epsilon ={\frac{|b|}{2}}</math> existe <math>n_{1}\in \mathbb{N}</math> tal que <math>\\ \alpha:={\frac{|b|}{2}}<|b_{n}|</math>, para <math>n>n_{1}</math>.
::Si <math>n>n_{1}</math>, obtenemos:
:<math> \bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| =  \frac{|ab_{n}-ba_{n}|}{|b||b_{n}|} = \frac{|ab_{n}-ab+ab-a_{n}b|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b||b_{n}|} \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} </math>
:: Sea <math>\epsilon>0 \textrm{  existen  } n_{2},n_{3}\in \mathbb{N} \qquad</math>tal que:
:<math>|b-b_{n}|< \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|b|\alpha \textrm{ si } n>n_{2} \textrm{  y  }|a-a_{n}|<\frac{\epsilon}{2|b|}|a|\alpha \textrm{ si } n>n_{3} </math>
::Si tomamos <math> n_{0}:=max\{n,n_{2},n_{3}\} </math> debe cumplirse que
: <math>\bigg|\frac{a}{b}- \frac{a_{n}}{b_{n}}\bigg| \le \frac{|a||b_{n}-b|+|b||a-a_{n}|}{|b|\alpha} < \frac{\epsilon}{2(|\alpha|+1)}|\alpha|+\frac{\epsilon}{2|b|}|b| < \epsilon</math>
::Para <math>n>n_{0}</math>
:<math> \lim_{n \rightarrow 00}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b} \qquad b_{n}\ne0 \textrm{ y } b\ne0</math>
 
--[[Usuario:Cecilia Carrizosa Muñoz|cecy]] ([[Usuario discusión:Cecilia Carrizosa Muñoz|discusión]]) 21:12 27 nov 2012 (CST)
 
 
''1.32 Si <math>\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathfrak{C}</math> demuestre que<math>\boldsymbol{\Omega}^- =\{Z \in \mathfrak{C}: Z \}</math>es un punto de acumulación de <math>\boldsymbol{\Omega}</math>.''




Línea 78: Línea 24:




''Hay una bola <math>B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)</math> centrado en <math>\mathcal{Z}</math>, y pasa que <math>\boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq &Oslash;</math>.''
''Hay una bola <math>B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)</math> centrado en <math>\mathcal{Z}</math>, y pasa que <math>\boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq O\;</math>.''




''Por el ejercicio 1.21, tenemos que <math>\mathcal{Z}\in \left(\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\right)^-</math> , entonces si hay una sucesión <math>\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq \boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}</math>, tal que sea convergente, osea <math>\mathcal{Z}=\lim\{\mathcal{Z}_n\}</math>.''
''Por el ejercicio 1.21, tenemos que <math>\mathcal{Z}\in \left(\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\right)^-</math> , entonces si hay una sucesión <math>\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq \boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}</math>, tal que sea convergente, osea <math>\mathcal{Z}=\lim\{\mathcal{Z}_n\}</math>.''


--[[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 18:39 28 nov 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 18:39 28 nov 2012 (CST)
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'''1.34 Demuestre que diámetro <math>di\acute{a}mA=di\acute{a}m\bar{A} </math>, para todo <math>A\subseteq\mathbb{C} </math>.
'''1.34 Demuestre que diámetro <math>di\acute{a}mA=di\acute{a}m\bar{A} </math>, para todo <math>A\subseteq\mathbb{C} </math>.
'''
'''


sea <math>z=a+bi </math> y <math>w=c+di</math> con <math>z,w\subseteq\mathbb{A}</math>
sea <math>z=a+bi </math> y <math>w=c+di</math> con <math>z,w\subseteq A </math>




Línea 99: Línea 45:
<math>sup\left\{ \mid(a-c)+(b-d)i\mid\right\} </math>
<math>sup\left\{ \mid(a-c)+(b-d)i\mid\right\} </math>


<math>sup\left\{ (a-c)^{2}+(b-d)^{2}\right\} </math>
<math>sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}\right\} </math>


<math>sup\left\{ a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}\right\} </math>
<math>sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} </math>


por otro lado
por otro lado
Línea 109: Línea 55:
<math>=sup\left\{ \mid(a-bi)-(c-di)\mid\right\} </math>
<math>=sup\left\{ \mid(a-bi)-(c-di)\mid\right\} </math>


<math>=sup\left\{ \mid(a-c)-(d-b)i\mid\right\} </math>
<math>=sup\left\{ \mid(a-c)+(d-b)i\mid\right\} </math>


<math>=sup\left\{ \mid(a-c)^{2}-(d-b)^{2}\mid\right\} </math>
<math>=sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(d-b)^{2}}\right\} </math>
 
<math>sup\left\{ a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}\right\} </math>
 
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 03:28 29 nov 2012 (CST)


<math>sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} </math>


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Realizado por: [[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 03:28 29 nov 2012 (CST)
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'''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contra ejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.'''


'''1.35 Demuestre que si <math>\sum_{n=0}^{\infty} z_{n}</math>  es convergente, entonces la sucesión <math>\{z_{n}\}</math> converge a 0.La afirmación recíproca es falsa: considere la ''serie armónica'' <math> \sum_{n=0}^{\infty} 1/n </math>'''


Demostración:
Para k grande <math> a_{k}=S_{k}-S_{k-1} </math> entonces:
<math> \lim_{k \to \infty} a_{k}= \lim_{k \to \infty} (S_{k}-S_{k-1}) </math>
<math> \textrm{Si S es suma de la serie } \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \textrm{ entonces } \lim_{k \to \infty}S_{k}=S</math>
<math> \textrm{ donde }\lim_{k\to\infty}a_{k} = \lim_{k \to \infty} (S_{k}-S_{k-1}) =S-S=0</math>


--[[Usuario:Cesar|Cesar]] ([[Usuario discusión:Cesar|discusión]]) 20:55 27 nov 2012 (CST)
<big><span style="color:#C71585"> Recordemos que una serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> se dice absolutamente convergente si y sólo si <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> converge. </span></big>
----


'''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.'''


<span style="background:#D8BFD8"> Recordemos que una serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> se dice absolutamente convergente si y sólo si <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> converge. </span>


<span style="color:#C71585"> Proposiciones preliminares:
Proposiciones preliminares:


<span style="color:#C71585">a) Si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge, <math> \sum_{n=0}^\infty c_n </math> converge y <math> a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N </math>, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge.<br/>
* <span style="color:#C71585">a) Si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge, <math> \sum_{n=0}^\infty c_n </math> converge y <math> a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N </math>, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge.<br/>
''Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.''</span>
*''Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.''</span>


<span style="color:#C71585">b) Si <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. <br/>
* <span style="color:#C71585">b) Si <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. <br/>
''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.''
* ''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.''


<span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/>
* <span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/>
''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.'' </span>
* ''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.''  


'''Demostración.'''
'''Demostración.'''


Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/>
Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n \in \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/>
Como <math> 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n</math>, por la proposición a) se deduce que <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge. <br/>
Como <math> 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n</math>, por la proposición a) se deduce que <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge. <br/>
Ahora, por la proposición b) concluímos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. (A)<br/>
Ahora, por la proposición b) concluímos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. (A)<br/>
Línea 161: Línea 98:
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.


--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST)
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'''1.40 Si <math> \alpha \mathbb{R} </math> y <math> \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} </math>, demuestre que <math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math>.'''
'''1.40 Si <math> \alpha \in \mathbb{R} </math> y <math> \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} </math>, demuestre que <math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math>.'''


<span style="color:#C71585"> Proposición preliminar:
Proposición preliminar:


<span style="color:#C71585"> a) Sean <math> \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} =  a.</math>
a) Sean <math> \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} =  a.</math>


<span style="color:#C71585"> Demostración: <br/>
Demostración:
Tenemos que <math> \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. </math> <br/>
Tenemos que <math> \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. </math>
Además  <math> 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n </math><br/>
Además  <math> 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n </math>
<math> \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. </math><br/>
<math> \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. </math>
De aquí, <math> \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a. <br/>
De aquí, <math> \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a.  
\Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a</math>
\Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a</math>


'''Demostración:'''
'''Demostración:'''


Sean <math> \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} </math>
Sean <math> \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} </math>
Línea 196: Línea 133:
y como esto sucede <math> \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} </math>.
y como esto sucede <math> \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} </math>.


--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST)
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Línea 208: Línea 145:




Solución:
'''Solución:'''
 
Se cumple que:
Se cumple que:
<math> n! \ge 2^{n-1}  \qquad \forall \qquad n\ge 1  \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \ge \frac{1}{n!} </math>entonces:
<math> n! \ge 2^{n-1}  \qquad \forall \qquad n\ge 1  \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \ge \frac{1}{n!} </math>entonces:
Línea 219: Línea 157:
<math> \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1} = 0</math>
<math> \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1} = 0</math>


--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:58 4 dic 2012 (CST)
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Realizado por: [[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:58 4 dic 2012 (CST)
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Revisión actual - 18:29 3 may 2023

Sucesiones y series de números complejos

1.32 Si demuestre quees un punto de acumulación de .


Un punto se dice que es un punto de acumulación , si al menos alrededor de contiene un punto . Entonces si , este contiene todos sus puntos de acumulación


Ayudandonos del lema 1.12


si , un punto de acumulción de si y sólo sí existe una sucesión, tal que


.


Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite


si es un punto de acumulación de , y , por lo tanto


Hay una bola centrado en , y pasa que .


Por el ejercicio 1.21, tenemos que , entonces si hay una sucesión , tal que sea convergente, osea .


Realizado por: Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)


1.34 Demuestre que diámetro , para todo .

sea y con


por otro lado


Realizado por: Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)


1.36. Demuestre que toda serie absolutamente convergente es convergente. Dé un contra ejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.


 Recordemos que una serie  se dice absolutamente convergente si y sólo si  converge. 


Proposiciones preliminares:

  • a) Si converge, converge y , entonces converge.
  • Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.
  • b) Si converge, entonces converge.
  • Es consecuencia de a) usando que .
  • c) Sea con , entonces converge si y sólo si converge y converge.
  • Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.
Demostración.

Sea con y convergente.
Como , por la proposición a) se deduce que converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.


Realizado por: Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)


1.40 Si y , demuestre que .

Proposición preliminar:

a) Sean 

Demostración: Tenemos que Además De aquí,

Demostración:

Sean

Primero supongamos que
Ya que , por la proposición a),
.

El recíproco:
Sea convergente, i.e., .
Supongamos
Tenemos que (*)
Por otra parte, fijemos .
Como
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede .


Realizado por: Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)


1.47 Demuestre que Criterio del cociente o la razón Sea una sucesión tal que: entonces:

1)Si B<1, la serie converge
2)Si B>1, la serie diverge
3)Si B=1, no hay información


Solución:

Se cumple que: entonces:

Sean: , entonces: , por lo que:


Realizado por: Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:58 4 dic 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1