Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.2»

De luz-wiki
 
(No se muestran 20 ediciones intermedias de 7 usuarios)
Línea 1: Línea 1:
=Sucesiones y series de números complejos==
+
==Sucesiones y series de números complejos==
 +
 
 +
 
 +
 
 +
''1.32 Si <math>\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathbb{C}</math> demuestre que<math>\boldsymbol{\Omega}^- =\{Z \in \mathfrak{C}: Z \}</math>es un punto de acumulación de <math>\boldsymbol{\Omega}</math>.''
 +
 
 +
 
 +
''Un punto <math>\mathcal{Z}_0</math> se dice que es un punto de acumulación <math>\boldsymbol{\Omega}</math>, si al menos alrededor de <math>\mathcal{Z}_0</math> contiene un punto  <math>\mathcal{Z}</math>. Entonces si <math>\boldsymbol{\Omega}^-</math>, este contiene todos sus puntos de acumulación ''
 +
 
 +
 
 +
''Ayudandonos del lema 1.12''
 +
 
 +
 
 +
''si <math>\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathfrak{C}</math>, un punto de acumulción de <math>\boldsymbol{\Omega}</math> si y sólo sí existe una sucesión<math>\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}</math>, tal que''
 +
 
 +
 
 +
''<math>\mathcal{z}_0 = \lim\{\mathcal{Z}_n\}</math>.''
 +
 
 +
 
 +
''Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite''
 +
 
 +
 
 +
''<math>\boldsymbol{\Omega}^-</math> si <math>\mathcal{Z}</math> es un punto de acumulación de <math>\boldsymbol{\Omega}</math>, y <math>\mathcal{Z}\in \boldsymbol{\Omega}</math>, por lo tanto <math>\mathcal{Z}\notin \left(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{\Omega}\right).</math>''
 +
 
 +
 
 +
''Hay una bola <math>B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)</math> centrado en <math>\mathcal{Z}</math>, y pasa que <math>\boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq &Oslash;</math>.''
 +
 
 +
 
 +
''Por el ejercicio 1.21, tenemos que <math>\mathcal{Z}\in \left(\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\right)^-</math> , entonces si hay una sucesión <math>\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq \boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}</math>, tal que sea convergente, osea <math>\mathcal{Z}=\lim\{\mathcal{Z}_n\}</math>.''
 +
 
 +
--[[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 18:39 28 nov 2012 (CST)
 +
 
 +
 
 +
----
 +
'''1.34 Demuestre que diámetro <math>di\acute{a}mA=di\acute{a}m\bar{A} </math>, para todo <math>A\subseteq\mathbb{C} </math>.
 +
'''
 +
 
 +
sea <math>z=a+bi </math> y <math>w=c+di</math> con <math>z,w\subseteq A </math>
 +
 
 +
 
 +
<math>di\acute{a}mA:=sup\left\{ \mid z-w\mid;z,w\epsilon A\right\} </math>
 +
 
 +
<math>sup\left\{ \mid(a+bi)-(c+di)\mid\right\} </math>
 +
 
 +
<math>sup\left\{ \mid(a-c)+(b-d)i\mid\right\} </math>
 +
 
 +
<math>sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}\right\}  </math>
 +
 
 +
<math>sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} </math>
 +
 
 +
por otro lado
 +
 
 +
<math>di\acute{a}m\bar{A}:=\mid\overline{z-w}\mid=\mid\overline{z}-\overline{w}\mid </math>
 +
 
 +
<math>=sup\left\{ \mid(a-bi)-(c-di)\mid\right\} </math>
 +
 
 +
<math>=sup\left\{ \mid(a-c)+(d-b)i\mid\right\} </math>
 +
 
 +
<math>=sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(d-b)^{2}}\right\} </math>
 +
 
 +
<math>sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} </math>
 +
 
 +
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 03:28 29 nov 2012 (CST)
 +
 
 +
 
 +
----
 +
 
 +
 
 +
 
  
 
'''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.'''
 
'''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.'''
Línea 66: Línea 134:
  
 
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST)
 
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST)
 +
 +
----
 +
 +
''' 1.47 Demuestre que <math> \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n!} </math>'''
 +
''Criterio del cociente o la razón''
 +
Sea <math> \{a_{n}\}</math> una sucesión tal que: <math> a_{n}>0 \textrm{ y sea } B=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} </math> entonces:
 +
:1)Si B<1, la serie <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}</math> converge
 +
:2)Si B>1, la serie <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}</math> diverge
 +
:3)Si B=1, no hay información
 +
 +
 +
Solución:
 +
Se cumple que:
 +
<math> n! \ge 2^{n-1}  \qquad \forall \qquad n\ge 1  \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \ge \frac{1}{n!} </math>entonces:
 +
<math>\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n!})^{1/n} \le \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}})^{1/n}</math>
 +
 +
<math> \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n!})^{1/n} \le \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}})^{1/n}</math>
 +
 +
Sean: <math> a_{n}=\frac{1}{n!} \qquad b_{n}=\frac{1}{2^{n-1}} </math>, entonces:
 +
<math> \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}}) =\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2^n})</math>, por lo que:
 +
<math> \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1} = 0</math>
 +
 +
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:58 4 dic 2012 (CST)
  
 
----
 
----

Revisión actual - 22:40 4 dic 2012

Sucesiones y series de números complejos

1.32 Si \(\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathbb{C}\) demuestre que\(\boldsymbol{\Omega}^- =\{Z \in \mathfrak{C}: Z \}\)es un punto de acumulación de \(\boldsymbol{\Omega}\).


Un punto \(\mathcal{Z}_0\) se dice que es un punto de acumulación \(\boldsymbol{\Omega}\), si al menos alrededor de \(\mathcal{Z}_0\) contiene un punto \(\mathcal{Z}\). Entonces si \(\boldsymbol{\Omega}^-\), este contiene todos sus puntos de acumulación


Ayudandonos del lema 1.12


si \(\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathfrak{C}\), un punto de acumulción de \(\boldsymbol{\Omega}\) si y sólo sí existe una sucesión\(\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\), tal que


\(\mathcal{z}_0 = \lim\{\mathcal{Z}_n\}\).


Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite


\(\boldsymbol{\Omega}^-\) si \(\mathcal{Z}\) es un punto de acumulación de \(\boldsymbol{\Omega}\), y \(\mathcal{Z}\in \boldsymbol{\Omega}\), por lo tanto \(\mathcal{Z}\notin \left(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{\Omega}\right).\)


Hay una bola \(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)\) centrado en \(\mathcal{Z}\), y pasa que \(\boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq Ø\).


Por el ejercicio 1.21, tenemos que \(\mathcal{Z}\in \left(\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\right)^-\) , entonces si hay una sucesión \(\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq \boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\), tal que sea convergente, osea \(\mathcal{Z}=\lim\{\mathcal{Z}_n\}\).

--Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)



1.34 Demuestre que diámetro \(di\acute{a}mA=di\acute{a}m\bar{A} \), para todo \(A\subseteq\mathbb{C} \).

sea \(z=a+bi \) y \(w=c+di\) con \(z,w\subseteq A \)


\(di\acute{a}mA:=sup\left\{ \mid z-w\mid;z,w\epsilon A\right\} \)

\(sup\left\{ \mid(a+bi)-(c+di)\mid\right\} \)

\(sup\left\{ \mid(a-c)+(b-d)i\mid\right\} \)

\(sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}\right\} \)

\(sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} \)

por otro lado

\(di\acute{a}m\bar{A}:=\mid\overline{z-w}\mid=\mid\overline{z}-\overline{w}\mid \)

\(=sup\left\{ \mid(a-bi)-(c-di)\mid\right\} \)

\(=sup\left\{ \mid(a-c)+(d-b)i\mid\right\} \)

\(=sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(d-b)^{2}}\right\} \)

\(sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} \)

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)





1.36. Demuestre que toda serie \(\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n \) absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie \(\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n \) se dice absolutamente convergente si y sólo si \(\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| \) converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge, \( \sum_{n=0}^\infty c_n \) converge y \( a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N \), entonces \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si \( \sum_{n=0}^\infty |a_n| \) converge, entonces \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge.
Es consecuencia de a) usando que \(-|a_n|\le a_n \le |a_n|\).

c) Sea \( z_n = a_n + ib_n \) con \( a_n, b_n ∈ \mathbb{R} \) , entonces \( \sum_{n=0}^\infty z_n \) converge si y sólo si \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge y \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea \( z_n = a_n + ib_n \) con \( a_n, b_n ∈ \mathbb{R} \) y \( \sum_{n=0}^\infty |z_n| \) convergente.
Como \( 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n\), por la proposición a) se deduce que \( \sum_{n=0}^\infty |a_n| \) converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
\( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge. (A)
Y de forma análoga vemos que \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
\( \sum_{n=0}^\infty z_n \) converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \), ésta converge, pero
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \).
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)


1.40 Si \( \alpha ∈ \mathbb{R} \) y \( \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \), demuestre que \( \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} \).

Proposición preliminar:

a) Sean \( \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.\)

Demostración:
Tenemos que \( \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. \)
Además \( 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n \)
\( \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. \)
De aquí, \( \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a. <br/> \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a\)

Demostración:

Sean \( \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} \)

Primero supongamos que \(\limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} \)
Ya que \( \underline {a}_n \le a_n \le \overline {a}_n \), por la proposición a),
\( \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \).

El recíproco:
Sea \( \left\{ a_n \right\} \) convergente, i.e., \(\lim \left\{a_n \right\} = \alpha \) .
Supongamos \(\limsup \left\{a_n \right\}= \overline{\alpha} \mbox{ y } \liminf \left\{a_n \right\} = \underline {\alpha}.\)
Tenemos que \(\overline {a}_n - \underline {a}_n = sup \left\{ |a_i-a_j| : i,j \ge n \right\}. \) (*)
Por otra parte, fijemos \( \epsilon > 0 \Rightarrow \exists n_0 \mbox{ tal que } |a_n-a| < \frac{\epsilon}{2} \mbox{ si } n \ge n_0 \).
Como \(a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N. \)
De esto y con (*) tenemos que \(\overline {a}_n - \underline {a}_n \le \epsilon, \mbox{ si } n \ge n_0 \Rightarrow | \overline{\alpha} - \underline {\alpha} | \le \epsilon, \)
y como esto sucede \( \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} \).

--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)


1.47 Demuestre que \( \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n!} \) Criterio del cociente o la razón Sea \( \{a_{n}\}\) una sucesión tal que\[ a_{n}>0 \textrm{ y sea } B=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \] entonces:

1)Si B<1, la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\) converge
2)Si B>1, la serie \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\) diverge
3)Si B=1, no hay información


Solución: Se cumple que\[ n! \ge 2^{n-1} \qquad \forall \qquad n\ge 1 \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \ge \frac{1}{n!} \]entonces\[\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n!})^{1/n} \le \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}})^{1/n}\]

\( \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n!})^{1/n} \le \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}})^{1/n}\)

Sean\[ a_{n}=\frac{1}{n!} \qquad b_{n}=\frac{1}{2^{n-1}} \], entonces\[ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}}) =\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2^n})\], por lo que\[ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1} = 0\]

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:58 4 dic 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1