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Línea 1: Línea 1:
==Sucesiones y series de números complejos==
''1.32 Si <math>\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathbb{C}</math> demuestre que<math>\boldsymbol{\Omega}^- =\{Z \in \mathfrak{C}: Z \}</math>es un punto de acumulación de <math>\boldsymbol{\Omega}</math>.''
''Un punto <math>\mathcal{Z}_0</math> se dice que es un punto de acumulación <math>\boldsymbol{\Omega}</math>, si al menos alrededor de <math>\mathcal{Z}_0</math> contiene un punto  <math>\mathcal{Z}</math>. Entonces si <math>\boldsymbol{\Omega}^-</math>, este contiene todos sus puntos de acumulación ''
''Ayudandonos del lema 1.12''
''si <math>\boldsymbol{\Omega}\subseteq\mathfrak{C}</math>, un punto de acumulción de <math>\boldsymbol{\Omega}</math> si y sólo sí existe una sucesión<math>\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}</math>, tal que''
''<math>\mathcal{z}_0 = \lim\{\mathcal{Z}_n\}</math>.''
''Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite''
''<math>\boldsymbol{\Omega}^-</math> si <math>\mathcal{Z}</math> es un punto de acumulación de <math>\boldsymbol{\Omega}</math>, y <math>\mathcal{Z}\in \boldsymbol{\Omega}</math>, por lo tanto <math>\mathcal{Z}\notin \left(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{\Omega}\right).</math>''
''Hay una bola <math>B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)</math> centrado en <math>\mathcal{Z}</math>, y pasa que <math>\boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq &Oslash;</math>.''
''Por el ejercicio 1.21, tenemos que <math>\mathcal{Z}\in \left(\boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}\right)^-</math> , entonces si hay una sucesión <math>\{\mathcal{Z}_n\}\subseteq \boldsymbol{\Omega}-\{\mathcal{Z}\}</math>, tal que sea convergente, osea <math>\mathcal{Z}=\lim\{\mathcal{Z}_n\}</math>.''
--[[Usuario:Luis Antonio|Luis Antonio]] ([[Usuario discusión:Luis Antonio|discusión]]) 18:39 28 nov 2012 (CST)
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'''1.34 Demuestre que diámetro <math>di\acute{a}mA=di\acute{a}m\bar{A} </math>, para todo <math>A\subseteq\mathbb{C} </math>.
'''
sea <math>z=a+bi </math> y <math>w=c+di</math> con <math>z,w\subseteq A </math>
<math>di\acute{a}mA:=sup\left\{ \mid z-w\mid;z,w\epsilon A\right\} </math>
<math>sup\left\{ \mid(a+bi)-(c+di)\mid\right\} </math>
<math>sup\left\{ \mid(a-c)+(b-d)i\mid\right\} </math>
<math>sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(b-d)^{2}}\right\}  </math>
<math>sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} </math>
por otro lado
<math>di\acute{a}m\bar{A}:=\mid\overline{z-w}\mid=\mid\overline{z}-\overline{w}\mid </math>
<math>=sup\left\{ \mid(a-bi)-(c-di)\mid\right\} </math>
<math>=sup\left\{ \mid(a-c)+(d-b)i\mid\right\} </math>
<math>=sup\left\{ \sqrt{(a-c)^{2}+(d-b)^{2}}\right\} </math>
<math>sup\left\{ \sqrt{a^{2}-2ac+c^{2}+b^{2}-2bd+d^{2}}\right\} </math>
--[[Usuario:Ignacio Peralta Martínez|Ignacio Peralta Martínez]] ([[Usuario discusión:Ignacio Peralta Martínez|discusión]]) 03:28 29 nov 2012 (CST)
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'''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.'''
<span style="background:#D8BFD8"> Recordemos que una serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> se dice absolutamente convergente si y sólo si <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> converge. </span>
<span style="color:#C71585"> Proposiciones preliminares:
<span style="color:#C71585">a) Si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge, <math> \sum_{n=0}^\infty c_n </math> converge y <math> a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N </math>, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge.<br/>
''Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.''</span>
<span style="color:#C71585">b) Si <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. <br/>
''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.''
<span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n ∈ \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/>
''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.'' </span>
'''Demostración.'''
Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n ∈ \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/>
Como <math> 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n</math>, por la proposición a) se deduce que <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge. <br/>
Ahora, por la proposición b) concluímos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. (A)<br/>
Y de forma análoga vemos que <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. (B)
Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge.
Por otro lado, si tomamos la serie <br/>
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} </math>, ésta converge, pero <br/>
<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} </math>. <br/>
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST)
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'''1.40 Si <math> \alpha ∈ \mathbb{R} </math> y <math> \left\{ a_n \right\} \subseteq \mathbb{R} </math>, demuestre que <math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha \iff \limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math>.'''
<span style="color:#C71585"> Proposición preliminar:
<span style="color:#C71585"> a) Sean <math> \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} =  a.</math>
<span style="color:#C71585"> Demostración: <br/>
Tenemos que <math> \lim \left\{ z_n - x_n \right\} = \lim \left\{z_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = a - a. </math> <br/>
Además  <math> 0 \le y_n - x_n \le z_n - x_n </math><br/>
<math> \Rightarrow \lim \left\{ y_n - x_n \right\} = \lim \left\{y_n \right\} - \lim \left\{x_n \right\} = 0. </math><br/>
De aquí, <math> \lim \left\{ (y_n - x_n) + x_n \right\} = \lim \left\{ y_n - x_n \right\} + \lim \left\{ x_n \right\} = 0 + a. <br/>
\Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a</math>
'''Demostración:'''
Sean <math> \overline {a}_n = sup \left\{ a_i : i \ge n \right\} \mbox { y } \underline {a}_n = inf \left\{ a_i : i \ge n \right\} </math>
Primero supongamos que <math>\limsup \left\{a_n \right\}=\alpha = \liminf \left\{a_n \right\} </math> <br/>
Ya que <math>  \underline {a}_n \le a_n \le \overline {a}_n </math>, por la proposición a), <br/>
<math> \lim \left\{a_n \right\} = \alpha </math>.
El recíproco: <br/>
Sea <math> \left\{ a_n \right\} </math> convergente, i.e., <math>\lim \left\{a_n \right\} = \alpha </math> . <br/>
Supongamos <math>\limsup \left\{a_n \right\}= \overline{\alpha} \mbox{ y }
\liminf \left\{a_n \right\} = \underline {\alpha}.</math> <br/>
Tenemos que <math>\overline {a}_n - \underline {a}_n = sup \left\{ |a_i-a_j| : i,j \ge n \right\}. </math> (*) <br/>
Por otra parte, fijemos <math> \epsilon > 0 \Rightarrow \exists n_0 \mbox{ tal que } |a_n-a| < \frac{\epsilon}{2} \mbox{ si } n \ge n_0 </math>.<br/>
Como <math>a_n-a_m = a_n -a +a - a_m, \Rightarrow \mbox{ (por desigualdad del triángulo) } , |a_n-a_m| \le |a_n-a|+|a_m-a| < \epsilon \mbox{ si } n,m>N. </math><br/>
De esto y con (*) tenemos que <math>\overline {a}_n - \underline {a}_n \le \epsilon, \mbox{ si } n \ge n_0 \Rightarrow | \overline{\alpha} - \underline {\alpha} | \le \epsilon, </math> <br/>
y como esto sucede <math> \forall \epsilon > 0, \overline{\alpha} = \underline {\alpha} </math>.
--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 21:13 22 nov 2012 (CST)
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''' 1.47 Demuestre que <math> \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n!} </math>'''
''Criterio del cociente o la razón''
Sea <math> \{a_{n}\}</math> una sucesión tal que: <math> a_{n}>0 \textrm{ y sea } B=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} </math> entonces:
:1)Si B<1, la serie <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}</math> converge
:2)Si B>1, la serie <math>\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}</math> diverge
:3)Si B=1, no hay información
Solución:
Se cumple que:
<math> n! \ge 2^{n-1}  \qquad \forall \qquad n\ge 1  \Rightarrow \frac{1}{2^{n-1}} \ge \frac{1}{n!} </math>entonces:
<math>\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n!})^{1/n} \le \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}})^{1/n}</math>
<math> \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n!})^{1/n} \le \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}})^{1/n}</math>
Sean: <math> a_{n}=\frac{1}{n!} \qquad b_{n}=\frac{1}{2^{n-1}} </math>, entonces:
<math> \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^{n-1}}) =\sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2^n})</math>, por lo que:
<math> \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1} = 0</math>
--[[Usuario:Jean Carlo Cruz Venegas|Jean Carlo Cruz Venegas]] ([[Usuario discusión:Jean Carlo Cruz Venegas|discusión]]) 09:58 4 dic 2012 (CST)
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[[Compleja:z-ej-cap1.0]]
[[Compleja:z-ej-cap1.0]]
[[Compleja:z-ej-cap1.1]]
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[[categoría:Compleja]]
[[categoría:Compleja]]

Revisión del 22:40 4 dic 2012

Sucesiones y series de números complejos

1.32 Si demuestre quees un punto de acumulación de .


Un punto se dice que es un punto de acumulación , si al menos alrededor de contiene un punto . Entonces si , este contiene todos sus puntos de acumulación


Ayudandonos del lema 1.12


si , un punto de acumulción de si y sólo sí existe una sucesión, tal que


.


Una sucesión convergente tiene exactamente un punto límite, su límite


si es un punto de acumulación de , y , por lo tanto


Hay una bola centrado en , y pasa que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \boldsymbol{\Omega}\cap\left(B\left(\mathcal{Z};\boldsymbol{\epsilon}\right)-\{\mathcal{Z}\}\right)\neq &Oslash;} .


Por el ejercicio 1.21, tenemos que , entonces si hay una sucesión , tal que sea convergente, osea .

--Luis Antonio (discusión) 18:39 28 nov 2012 (CST)



1.34 Demuestre que diámetro , para todo .

sea y con


por otro lado

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 03:28 29 nov 2012 (CST)





1.36. Demuestre que toda serie absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie se dice absolutamente convergente si y sólo si converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si converge, converge y , entonces converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si converge, entonces converge.
Es consecuencia de a) usando que .

c) Sea con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} , entonces converge si y sólo si converge y converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} y convergente.
Como , por la proposición a) se deduce que converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
converge. (A)
Y de forma análoga vemos que converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
, ésta converge, pero
.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)


1.40 Si Error al representar (error de sintaxis): \alpha ∈ \mathbb{R} y , demuestre que .

Proposición preliminar:

a) Sean Error al representar (error de sintaxis): \left\{ x_n \right\}, \left\{ y_n \right\}, \left\{ z_n \right\} \subseteq \mathbb{R} \mbox{ tal que } \lim \left\{x_n \right\} = a = \lim \left\{z_n \right\}, \mbox{ si } x_n \le y_n \le z_n \forall n ∈ \mathbb{N} \Rightarrow \lim \left\{y_n \right\} = a.

Demostración:
Tenemos que
Además

De aquí,

Demostración:

Sean

Primero supongamos que
Ya que , por la proposición a),
.

El recíproco:
Sea convergente, i.e., .
Supongamos
Tenemos que (*)
Por otra parte, fijemos .
Como
De esto y con (*) tenemos que
y como esto sucede .

--Belen (discusión) 21:13 22 nov 2012 (CST)


1.47 Demuestre que Criterio del cociente o la razón Sea una sucesión tal que: entonces:

1)Si B<1, la serie converge
2)Si B>1, la serie diverge
3)Si B=1, no hay información


Solución: Se cumple que: entonces:

Sean: , entonces: , por lo que:

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 09:58 4 dic 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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