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=Sucesiones y series de números complejos==
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'''1.36. Demuestre que toda serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.'''
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<span style="background:#D8BFD8"> Recordemos que una serie <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n </math> se dice absolutamente convergente si y sólo si <math>\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> converge. </span>
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<span style="color:#C71585"> Proposiciones preliminares:
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<span style="color:#C71585">a) Si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge, <math> \sum_{n=0}^\infty c_n </math> converge y <math> a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N </math>, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge.<br/>
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''Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.''</span>
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<span style="color:#C71585">b) Si <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge, entonces <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. <br/>
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''Es consecuencia de a) usando que <math>-|a_n|\le a_n \le |a_n|</math>.''
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<span style="color:#C71585">c) Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n ∈ \mathbb{R} </math> , entonces <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge si y sólo si <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge y <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. <br/>
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''Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.'' </span>
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'''Demostración.'''
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Sea <math> z_n = a_n + ib_n </math> con <math> a_n, b_n ∈ \mathbb{R} </math> y <math> \sum_{n=0}^\infty |z_n| </math> convergente.<br/>
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Como <math> 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n</math>, por la proposición a) se deduce que <math> \sum_{n=0}^\infty |a_n| </math> converge. <br/>
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Ahora, por la proposición b) concluímos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty a_n </math> converge. (A)<br/>
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Y de forma análoga vemos que <math> \sum_{n=0}^\infty b_n </math> converge. (B)
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Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que <br/> <math> \sum_{n=0}^\infty z_n </math> converge.
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Por otro lado, si tomamos la serie <br/>
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<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{-1^n}{n} </math>, ésta converge, pero <br/>
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<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} </math>. <br/>
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Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.
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--[[Usuario:Belen|Belen]] ([[Usuario discusión:Belen|discusión]]) 19:48 22 nov 2012 (CST)
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Revisión del 20:48 22 nov 2012

Sucesiones y series de números complejos=

1.36. Demuestre que toda serie \(\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n \) absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie \(\textstyle \sum_{n=0}^\infty z_n \) se dice absolutamente convergente si y sólo si \(\textstyle \sum_{n=0}^\infty |z_n| \) converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge, \( \sum_{n=0}^\infty c_n \) converge y \( a_n \le b_n \le c_n \forall n \ge N \), entonces \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si \( \sum_{n=0}^\infty |a_n| \) converge, entonces \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge.
Es consecuencia de a) usando que \(-|a_n|\le a_n \le |a_n|\).

c) Sea \( z_n = a_n + ib_n \) con \( a_n, b_n ∈ \mathbb{R} \) , entonces \( \sum_{n=0}^\infty z_n \) converge si y sólo si \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge y \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea \( z_n = a_n + ib_n \) con \( a_n, b_n ∈ \mathbb{R} \) y \( \sum_{n=0}^\infty |z_n| \) convergente.
Como \( 0 \le |a_n| \le |z_n| \forall n\), por la proposición a) se deduce que \( \sum_{n=0}^\infty |a_n| \) converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
\( \sum_{n=0}^\infty a_n \) converge. (A)
Y de forma análoga vemos que \( \sum_{n=0}^\infty b_n \) converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
\( \sum_{n=0}^\infty z_n \) converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{-1^n}{n} \), ésta converge, pero
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \).
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)



--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

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