Compleja:z-ej-cap1.2

Sucesiones y series de números complejos=

1.36. Demuestre que toda serie $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z_{n}$ absolutamente convergente es convergente. Dé un contraejemplo de una serie convergente que no es absolutamente convergente.

Recordemos que una serie $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z_{n}$ se dice absolutamente convergente si y sólo si $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|z_{n}|$ converge.

Proposiciones preliminares:

a) Si $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converge, $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$ converge y $a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}\forall n\geq N$, entonces $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ converge.
Este resultado es consecuencia del criterio de comparación de las sucesiones.

b) Si $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ converge, entonces $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converge.
Es consecuencia de a) usando que $-|a_{n}|\leq a_{n}\leq |a_{n}|$.

c) Sea $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$ con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} , entonces $\sum _{n=0}^{\infty }z_{n}$ converge si y sólo si $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converge y $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ converge.
Esto es consecuencia de la proposición análoga para sucesiones y de la definición de serie.

Demostración.

Sea $z_{n}=a_{n}+ib_{n}$ con Error al representar (error de sintaxis): a_n, b_n ∈ \mathbb{R} y $\sum _{n=0}^{\infty }|z_{n}|$ convergente.
Como $0\leq |a_{n}|\leq |z_{n}|\forall n$, por la proposición a) se deduce que $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|$ converge.
Ahora, por la proposición b) concluímos que
$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ converge. (A)
Y de forma análoga vemos que $\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ converge. (B)

Teniendo los resultados (A) y (B) y con la proposición c), tenemos que
$\sum _{n=0}^{\infty }z_{n}$ converge.

Por otro lado, si tomamos la serie
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-1^{n}}{n}}$, ésta converge, pero
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$.
Y con ello vemos que una serie convergente no es necesariamente absolutamente convergente.

--Belen (discusión) 19:48 22 nov 2012 (CST)

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--mfg-wiki (discusión) 17:32 15 nov 2012 (UTC)

Compleja:z-ej-cap1.1