La topología del plano complejo
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea
Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
=
Esto es una contradicción
y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
--Cecilia Carrizosa Muñoz
1.19 Sea . Demuestre que:
(a) es abierto si y sólo si .
(b) es cerrado si y sólo si .
(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego .
Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.
(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .
Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.
--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)
1.20 Sea . Demuestre que:
(a) .
(b) .
(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0}
.
(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
.
(a)
- P.D.
Sabemos que
Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.
De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()
- P.D.
Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}
, entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
por que .
Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega
, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega
y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0}
ya que .
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0}
, es decir, al complemento del interior de .
Tenemos entonces que , de donde .
- Ya que y , podemos decir que .
(b)
Sabemos que .
Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,
entonces: .
Y así .
(c)
Tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ]
.
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ]
(puesto que )
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0}
(por el inciso anterior)
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} )
.
(d)
Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega
como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .
Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}
Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .
De tal forma que .
--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)
FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):
LEYES DE MORGAN