Compleja:z-ej-cap1.1

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La topología del plano complejo

1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica\[u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=0.\]

Demostración

Sea \(u\in\mathbb{C}\), se observa que\[1-u^n=(u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1)(1-u)\] entonces\[u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=\frac{1-u^n}{1-u}\] Si tomamos a u como la raíz n-ésimas de 1, excepto \(u=1\), se tiene que \(1-u^n=0\) & \(1-u\neq0\) Por lo tanto\[u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=0.\] --Sabino (discusión) 20:58 13 nov 2012 (UTC)



1.16.- Demuestre que un semiplano abierto es un conjunto abierto.

Demostración.

Tenemos \( P \in B(P_{0}) \) del cual \(P_{0}=(x_{0},y_{0})\). Decimos que \( P_{0} \in B , y_{0}>0 \). Elegimos un \( r = y_{0} \)

\(Sea B_{P} \in B_{y_{0}}(P_{0}\) \(|P_{0}-P |<y_{0}\) \(\Rightarrow\) \(|(x_{0},y_{0})-(x,y)|<y_{0}\) \(\Rightarrow\)\(| (x_{0}-x) + (y_{0}-y) |< y_{0}\) \(\Rightarrow\)\( | x_{0}-x| +|y_{0}-y| < y_{0}\) \( Si y = 0 \) \(\Rightarrow\) \( |x_{0}-x + y_{0} |< y_{0}\) \(\Rightarrow\)\( |x_{o}-x| < 0 \) (contradicción) \( Si y < 0 \) \(\Rightarrow\)\( | y| < 0\) \(\Rightarrow\)\( |x_{0} - x| + |y_{0}|-(-y) < y_{0}\) \(\Rightarrow\)\( |x_{0}-x| + y < 0\) \(\Rightarrow\)\( y <| x_{0}-x|\) (contradicción) \( \therefore \) \( y > 0\).

--Jean Carlo Cruz Venegas (discusión) 08:20 29 nov 2012 (CST)


1.19 Sea \( \Omega \subseteq \mathbb{C} \). Demuestre que:

(a) \( \Omega \) es abierto si y sólo si \( \Omega^{0} = \Omega \).

(b) \( \Omega \) es cerrado si y sólo si \( \Omega^{-} = \Omega \).


(a) Si \( \Omega \) es abierto, entonces para cada z ∈ \( \Omega \) existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( B (x,\epsilon) \subset \Omega \). Vemos que la unión de todas las bolas \( B (x,\epsilon) \) es \( \Omega \). Además, esta unión es igual al interior de \( \Omega \) a saber, \( \Omega^{0} \), puesto que para cualquier subconjunto abierto \(A\) de \( \Omega \) se tiene que \( A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. \) Luego \( \Omega^{0} = \Omega \).

Por otro lado, si \( \Omega^{0} = \Omega \), entonces \( \Omega \) es abierto por que \( \Omega ^{0}\) es abierto.


(b) Si \( \Omega \) es cerrado, entonces \( \bigcap \left \{ A : A \mbox{ es cerrado y } A \supset \Omega \right \} = \Omega^{-} = \Omega \), por que \( \Omega \) es el superconjunto cerrado más pequeño de \( \Omega \).

Por otra parte, si \( \Omega^{-} = \Omega \) entonces \( \Omega \) es cerrado debido a que \( \Omega^{-} \) es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)


1.20 Sea \( \Omega \subseteq \mathbb{C} \). Demuestre que:

(a) \( \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).

(b) \( \Omega ^{-} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} \).

(c) \( ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} \).

(d) \( ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).


(a)

  • P.D. \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} \)

Sabemos que \( \mathbb{C} - \Omega \subseteq ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \)

Entonces \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega \) y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} \), pues el interior de un conjunto (\( \Omega ^{0}\)) es el mayor abierto contenido en ese conjunto (\( \Omega \))

  • P.D. \( \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \)

Sea \( x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \), entonces \( x ∈ \mathbb{C} - \Omega \) por que \( \mathbb{C} - \Omega \subseteq ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).

Como \( x ∈ \mathbb{C} - \Omega \), se tiene que \( x ∉ \Omega \) y también que \( x ∉ \Omega ^{0}\) ya que \( \Omega ^{0} \subseteq \Omega \).

Puesto que \( x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0}\), es decir, al complemento del interior de \(\Omega\).

Tenemos entonces que \( ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \mathbb{C} - \Omega ^{0}\), de donde \( \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}\).

  • Ya que \( \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \subseteq \Omega ^{0} \) y \( \Omega ^{0} \subseteq \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-}\), podemos decir que \( \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \).

(b)

Sabemos que \( \Omega^{-} = [\mathbb{C} - ( \mathbb {C} - \Omega ) ] ^{-} \).

Ahora, del inciso anterior, \( ( \mathbb{C} - \Chi ) ^{-} = \mathbb{C} - \Chi ^{0} \), si \( \Chi \subseteq \mathbb{C} \). Sea \( \Chi = \mathbb {C} - \Omega \),

entonces\[[\mathbb{C} - ( \mathbb {C} - \Omega ) ] ^{-} = \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{0}\].

Y así \( \Omega^{-} = \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{0}\).

(c)

Tenemos que \( x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] \).

\( \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] \) (puesto que \( \Omega \subseteq \Omega ^{-} \))

\( \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} \) y \( x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} \)

\( \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} \) y \( x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0}\) (por el inciso anterior)

\( \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) \).

(d)

Veamos a la frontera \( ∂ \Omega \) como el conjunto de puntos que NO están en el interior \( \Omega ^{0} \) ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con \( \Omega \), es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en \( \mathbb{C} - \Omega \)). El exterior de \(\Omega\) es el interior de \( \mathbb{C} - \Omega \), o sea el conjunto \( ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} \).

Así, \( ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\)

Sabemos del inciso (a) que \( \Omega ^{0} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \) y del inciso (b) que \( \Omega^{-} = \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{0}\).

De tal forma que \( \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0} = ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} \cap \Omega^{-} \).

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)


1.21 Sea \( \Omega \subseteq \mathbb{C} \). Demuestre que:

(a) \(z ∈ \Omega ^{0}\) si y sólo si existe \( \epsilon > 0 \) tal que \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega \).

Si \(z ∈ \Omega ^{0}\) entonces existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega ^{0}\), por que \(\Omega ^{0}\) es abierto. Como \(\Omega ^{0} \subseteq \Omega\), resulta que \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega \). En la otra dirección, si \( B(z; \epsilon) \subseteq \Omega \) para algún \( \epsilon > 0 \), entonces por ser \( B(z; \epsilon) \) un conjunto abierto, se tiene que \(z ∈ \Omega ^{0}\), por que \( \Omega ^{0}\) es la unión de todos los subconjuntos abiertos de \( \Omega \)

(b) \(z ∈ \Omega ^{-}\) si y sólo si para todo \( \epsilon > 0 \) se tiene que \( B(z; \epsilon) \cap \Omega \ne \emptyset \)

Supóngase que \(z ∈ \Omega ^{-}\), por 1.20 (b) \(z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0})\) y de este modo \(z \notin ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\). Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada \( \epsilon > 0 \), \( B(z; \epsilon) \nsubseteq (\mathbb{C} - \Omega) \). De esta forma, para cada \( \epsilon > 0 \) hay un punto \( w \in B(z; \epsilon) \) que no pertenece a \( (\mathbb{C} - \Omega) \), con lo cual \( w \in \Omega \), y así \( w \in ( B(z; \epsilon) \cap \Omega ) \). Ahora supóngase que \(z \notin \Omega ^{-} = \mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\), entonces \(z \in ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}\), y por el inciso anterior existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( B(z; \epsilon) \subseteq (\mathbb{C} - \Omega) \). De esto se obtiene que \( B(z; \epsilon) \cap \Omega \ne \emptyset \).

--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)



1.22 Sea \(\Omega\subseteq\mathfrak{C}\) cualquier conjunto de muestre que:

\(\left(1\right)\)

\(\left(a\right)\) \(\Omega\) y \(Φ\) son abiertos relativos en \(\Omega\).


Tenemos\(\Omega_1\subseteq\Omega\) es abierto relativo en \(\Omega\), por lo que hay un conjunto abierto \(Á\subseteq\mathfrak{C}\) tal que \(\Omega_1=Á\cap\Omega\). Lo mismo para \(Φ\)


\(\left(b\right)\)Si \(A_1\),.....,\(A_n\subseteq\Omega\) son abiertos relativos, \(A_1\cap.....\cap A_n\) es abierto relativo.


Si\(A_1\cap,.....,\cap A_n \subseteq\Omega_1\) entonces es abierto relativo por \(\left(1\right)\). Si existe un \(Z\in A_1\cap,.....,\cap A_n\), entonces \(Z\in a_k\), para todo K y como \(A_k\) es abierto relativo


\(\left(c\right)\)Si \(\lbrace{A_k\rbrace}\) es cualquier familia de subconjuntos de \(\Omega\) que son abiertos relativos, entonces \(\bigcup_k A_k\) también es abierto relativo.


Si \(Z\in \bigcup_k A_k\) , entonces existe un\(A_k\) tal que \(Z\in A_k\), y por lo tanto existe un disco \(B\left(Z:ε\right)\subseteq A_k \subseteq\cup A_k,\) ya hemos mostrado que\(A_k\) es abierto relativo en\(\left(b\right)\).



\(\left(2\right)\)

\(\left(a\right)\) \(\Omega\) y \(Φ\) son cerrados relativos en \(\Omega\).


Tenemos\(\Omega_1\subseteq\Omega\) es cerrado relativo en \(\Omega\), por lo que hay un conjunto cerrado \(Á\subseteq\mathfrak{C}\) tal que \(\Omega_1=Á\cap\Omega\). Lo mismo para \(Φ\)


\(\left(b\right)\)Si \(A_1\),.....,\(A_n\subseteq\Omega\) son cerrados relativos, \(A_1\cup.....\cup A_n\) es cerrado relativo.


Si\(A_1\cup,.....,\cup A_n \subseteq\Omega_1\) entonces es cerrado relativo por \(\left(1\right)\). Si existe un \(Z\in A_1\cup,.....,\cup A_n\), entonces \(Z\in a_k\), para todo K y como \(A_k\) es cerrado relativo


\(\left(c\right)\)Si \(\lbrace{A_k\rbrace}\) es cualquier familia de subconjuntos de \(\Omega\) que son cerrados relativos, entonces \(\bigcap_k A_k\) también es cerrado relativo.


Si \(Z\in \bigcap_k A_k\) , entonces existe un\(A_k\) tal que \(Z\in A_k\), y como ya hemos mostrado que\(Z\in\Omega\) es cerrado relativo, se tine\(\bigcap A_k\) es cerrado relativo.

--Luis Antonio (discusión) 17:16 27 nov 2012 (CST)


1.23 Si \(A\subseteq\Omega\) es abierto relativo, demuestre que \(\Omega-A\subseteq\Omega\) es cerrado relativo. Demuestre también que si \(F\subseteq\Omega\) es cerrado relativo, entonces \(\Omega-F\subseteq\Omega \) es abierto relativo

* Se dice que un subconjunto abierto \(A\subseteq\Omega\) es abierto relativo en \(\Omega\) si existe un conjunto abierto \(Á\subseteq\mathfrak{C}\) tal que \(A=Á\cap\Omega\).

* Se dice que un subconjunto cerrado \(A\subseteq\Omega\) es cerrado relativo en \(\Omega\) si existe un conjunto cerrado \(Ã\subseteq\mathfrak{C}\) tal que \(A=Ã\cap\Omega\).


También sabemos que los conjuntos cerrados son complementarios de los abiertos, y reciprocamente; es decir para cualquiera que sea \(A\subseteq\Omega\), se verifica que (nótese que las dos relaciones siguientes son, en realidad una sola):


\(A\) es abierto\(\Leftrightarrow\Omega-A\) es cerrado


\(A\) es cerrado\(\Leftrightarrow\Omega-A\) es abierto


Por lo tanto de lo anterior si A es abierto relativo, entonces \(\Omega-A\subseteq\Omega\) es cerrado relativo


Demuestre también que si \(\F\subseteq\Omega\) es cerrado relativo, entonces \(\Omega-F\subseteq\Omega\) es abierto relativo.

Se demuestra de manera similar a lo anterior.


--Farfan altamirano Luis AntonioLuis Antonio (discusión) 22:26 11 nov 2012 (UTC)


1.24 Demuestre que \( I \subseteq \mathbb{R}\) es conexo si y sólo si \(I\) es un intervalo.

Sea \( I = [a,b], a,b \in \mathbb{R}, a < b \), y sea \( A \) un subconjunto abierto de \(I\) tal que \( a \in A\) y \( A \ne I \) (como \( a \in A \), \(A\) no es abierto en \( \mathbb{R} \), pero si en \(I\), es decir, \(A\) es abierto relativo a \(I\)). Si se prueba que \(A\) no es también cerrado, entonces se habrá probado que \(I\) es conexo.

Puesto que \(A\) es abierto, existe un \( \epsilon > 0 \) tal que \( [a, a + \epsilon ) \subset A \). Sea \(r\) el mayor \(\epsilon\) para el cual \( [a, a + \epsilon ) \subset A \), es decir \( r = sup \left \{ \epsilon : [a, a + \epsilon ) \subset A \right \}\). De este modo se tiene que \( [a, a + r ) \subset A \), pero \( a + r \notin A \), por que de lo contrario, puesto que \(A\) es abierto, habría un \( \delta > 0 \) tal que \( [a, a + r + \delta ) \subset A \), contradiciendo la definición de \(r\). Luego \( a + r \notin A \), y por tanto \( a + r \in I - A \). Si \(A\) es también cerrado, entonces \(I - A\) es abierto, y por tanto se puede encontrar un \( \delta > 0 \) tal que \( [a + r - \delta, a + r + \delta ) \subset I - A \), lo cual contradice el hecho de que \( [a, a + r ) \subset A \). Por lo tanto, \(A\) no puede ser cerrado.

Ahora supóngase que \(I\) no es un intervalo, entonces existen dos puntos \(a,b \in I, a < b \), tal que \( (a,b) \nsubseteq I \) (un teorema afirma que \(I\) es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos \(a,b \in I\), con \(a < b \) se tiene que \((a,b) \subset I \)). Entonces, existe un punto \( c \notin I \) tal que \( a < c < b \). Como \( a \in (- \infty , c ) \) y \( b \in ( c, \infty ) \) se tiene que \( I = ( I \cap (-\infty , c) ) \cup ( I \cap ( c, \infty ) ) \), donde \( (I \cap ( - \infty, c ) ) \) y \( (I \cap (c, \infty)) \) son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, \(I\) no es conexo.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)


1.25 Un subconjunto \(A\subseteq\mathbb{C}\) se dice que es convexo si para cualquiera dos puntos \(z,w\in\)\(A\) se tiene que el segmento \([z,w]\subseteq\)\(A\).

(1) Demuestre que cualquier disco abierto o cerrado es convexo.
(2) Demuestre que cualquier semiplano abierto o cerrado es convexo.
(3) Demuestre que la intersección de cualquier familia de subconjuntos convexos es convexa.
Demostración

(1) Por definición \([z,w]:=\){\(tw+(1-t)z : 0\leq t\leq1\)}

Sean \(z,w\in B(x,r)\subseteq\mathbb{C}\), entonces \(|x-z|< r\);\(|x-w|< r\).......................(*)

Sea \(v_t\in\mathbb{C}\) arbitrario, pero fijo definido por \(v_t=tw+(1-t)z\), así todo punto del segmento [z,w] esta representado por \(v_t\).

Por otra parte

\(|x-v_t|=|x-tw-(1-t)z|=|x-tw-z+tz|\) al sumar y restar \(tx\) se tiene que \(|x-v_t|=|x-tw-z+tz+tx-tx|\) agrupando y factorizando

\(|x-v_t|=|(x-z)(1-t)+(tx-tw)|\) aplicando la desigualdad del triángiulo

\(|x-v_t|\leq |(x-z)(1-t)|+|tx-tw|\) n Como \(0\leq t\leq1\), entonces \(0\leq {1-t}\leq1\) y de las propiedades del valor absoluto tenemos que \(|x-v_t|\leq (1-t)|x-z|+t|x-w|\) aplicando (*)

\(|x-v_t|<(1-t)r+tr=r-tr+t=r\) por lo que \(v_t\in B(x,r)\) Como \(v_t\) fue arbitrario, entonces \([z,w]\subseteq B(x,r)\)

Así, hemos dado dos elementos \(z,w\in B(x,r)\) cuyo segmento \([z,w]\in B(x,r)\)

Por lo tanto, un disco abierto es convexo

Para un disco cerrado solo se reemplazan la desigualdad estricta de (*) por una desigualdad.

Sean \(x,y\in H_u\) con \(H_u\) un semiplano abierto generado por \(u,v\in\mathbb{C}, v\not=0\), luego \(Im (\displaystyle \frac{x-w}{v})>0\) & \(Im (\displaystyle \frac{y-w}{v})>0\) (**)

Sea \(z_t\in[x,y]\) arbitrario, entonces

\(Im(\displaystyle \frac{z_t-w}{v})=Im(\displaystyle \frac{ty+(1-t)x-w}{v})\)

\(=Im(\displaystyle \frac{ty+x-tx-w}{v})=Im(\displaystyle \frac{ty+x-tx-w+tw-tw}{v})\) \(=Im(\displaystyle \frac{ty-tw+(1-t)(x-w)}{v})=Im(\displaystyle \frac{ty-tw}{v})+Im(\displaystyle \frac{(1-t)(x-w)}{v})\)

\(=tIm(\displaystyle \frac{y-w}{v})+(1-t)Im(\displaystyle \frac{x-w}{v})\)

Como \(t\geq 0, 1-t\geq 0\) y de (**) se tiene que \(Im(\displaystyle \frac{z_t-w}{v})>0\), como \(z_t\) fue arbitrario, entonces \(z_t\in H_u\)

Por lo tanto un semiplano abierto es convexo.

Para el caso del semiplano cerrado basta con cambiar la condición (**).

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 19:17 22 nov 2012 (CST)


1.27 Si \(\Omega\subseteq\mathbb{C} \) es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.

Tomemos una componente \(\Omega\text{´}\subseteq\mathbb{\Omega} \) y un punto \(z_{0}\epsilon\Omega\text{´} \), como \(z_{0}\epsilon\Omega \) y \(\Omega\) es abierto, existe un disco \(B(z_{0};r)\subseteq\Omega \). Recordando que un subconjunto \(\Omega\subseteq\mathbb{C} \) no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos (proposición 1.8),tenemos que la unión \(B(z_{0};r)\cup\Omega\text{´} \) es conexa; y por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a \(\Omega\text{´} \). Con esto se entiende que \(B(z_{0};r)\subseteq\Omega\text{´} \) y por tanto \(\Omega\text{´}\) es abierto.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 19:02 6 nov 2012 (UTC)



FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN



Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2

Compleja:z-ej-cap1.3

Compleja:z-ej-cap1.4

Compleja:z-ej-cap2.1

Compleja:z-ej-cap2.2