Compleja:z-ej-cap1.1

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La topología del plano complejo

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

i escribimos en la forma polar

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

y

Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:

Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces

Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma = Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,,,...,

1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica:

Demostración

Sea , se observa que: entonces: Si tomamos a u como la raíz n-ésimas de 1, excepto , se tiene que & Por lo tanto: --Sabino (discusión) 20:58 13 nov 2012 (UTC)

1.16.- Demuestre que un semiplano abierto es un conjunto abierto. Demostrar



1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Si Entonces se debe mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta , sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.

Supongamos que y<0, entonces

Esto es una contradicción

y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)


1.18 Describa los siguientes subconjuntos de

a)

Solución

Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0

b) Solución

Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical

c)

Solución

Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1| ||

Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2

d)

Solución

Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 ||>2 > 4 Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2

e)

Solución

Sea y z=a+ib, como b>0 y

f) ,

Solución

Sea y z=a+ib, como b>0 y , , entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1

Cesar (discusión)


1.19 Sea . Demuestre que:

(a) es abierto si y sólo si .

(b) es cerrado si y sólo si .


(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego .

Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.


(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .

Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)


1.20 Sea . Demuestre que:

(a) .

(b) .

(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .


(a)

  • P.D.

Sabemos que

Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()

  • P.D.

Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que .

Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \Omega ^{0} ya que .

Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de .

Tenemos entonces que , de donde .

  • Ya que y , podemos decir que .

(b)

Sabemos que .

Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,

entonces: .

Y así .

(c)

Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que )

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .

(d)

Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .

Así, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}

Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .

De tal forma que .

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)


1.21 Sea . Demuestre que:

(a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{0} si y sólo si existe tal que .

Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} entonces existe un tal que , por que es abierto. Como , resulta que . En la otra dirección, si para algún , entonces por ser un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{0} , por que es la unión de todos los subconjuntos abiertos de

(b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{-} si y sólo si para todo se tiene que

Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} , por 1.20 (b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}) y de este modo . Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada , . De esta forma, para cada hay un punto que no pertenece a , con lo cual , y así . Ahora supóngase que , entonces , y por el inciso anterior existe un tal que . De esto se obtiene que .

--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)



1.23 Si es abierto relativo, demuestre que es cerrado relativo. Demuestre también que si es cerrado relativo, entonces es abierto relativo

* Se dice que un subconjunto abierto es abierto relativo en si existe un conjunto abierto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Aacute;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=&Aacute;\cap\Omega} .

* Se dice que un subconjunto cerrado es cerrado relativo en si existe un conjunto cerrado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle &Atilde;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=&Atilde;\cap\Omega} .


También sabemos que los conjuntos cerrados son complementarios de los abiertos, y reciprocamente; es decir para cualquiera que sea , se verifica que (nótese que las dos relaciones siguientes son, en realidad una sola):


es abierto es cerrado


es cerrado es abierto


Por lo tanto de lo anterior si A es abierto relativo, entonces es cerrado relativo


Demuestre también que si Error al representar (función desconocida «\F»): {\displaystyle \F\subseteq\Omega} es cerrado relativo, entonces es abierto relativo.

Se demuestra de manera similar a lo anterior.


--Farfan altamirano Luis AntonioLuis Antonio (discusión) 22:26 11 nov 2012 (UTC)


1.24 Demuestre que es conexo si y sólo si es un intervalo.

Sea , y sea un subconjunto abierto de tal que y (como , no es abierto en , pero si en , es decir, es abierto relativo a ). Si se prueba que no es también cerrado, entonces se habrá probado que es conexo.

Puesto que es abierto, existe un tal que . Sea el mayor para el cual , es decir . De este modo se tiene que , pero , por que de lo contrario, puesto que es abierto, habría un tal que , contradiciendo la definición de . Luego , y por tanto . Si es también cerrado, entonces es abierto, y por tanto se puede encontrar un tal que , lo cual contradice el hecho de que . Por lo tanto, no puede ser cerrado.

Ahora supóngase que no es un intervalo, entonces existen dos puntos , tal que (un teorema afirma que es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos , con se tiene que ). Entonces, existe un punto tal que . Como y se tiene que , donde y son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, no es conexo.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)


1.25 Un subconjunto se dice que es convexo si para cualquiera dos puntos se tiene que el segmento .

(1) Demuestre que cualquier disco abierto o cerrado es convexo.
(2) Demuestre que cualquier semiplano abierto o cerrado es convexo.
(3) Demuestre que la intersección de cualquier familia de subconjuntos convexos es convexa.
Demostración

(1) Por definición {}

Sean , entonces ;.......................(*)

Sea arbitrario, pero fijo definido por , así todo punto del segmento [z,w] esta representado por .

Por otra parte

al sumar y restar se tiene que agrupando y factorizando

aplicando la desigualdad del triángiulo

n Como , entonces y de las propiedades del valor absoluto tenemos que aplicando (*)

por lo que Como fue arbitrario, entonces

Así, hemos dado dos elementos cuyo segmento

Por lo tanto, un disco abierto es convexo

Para un disco cerrado solo se reemplazan la desigualdad estricta de (*) por una desigualdad.

Sean con un semiplano abierto generado por , luego & (**)

Sea arbitrario, entonces

Como y de (**) se tiene que , como fue arbitrario, entonces

Por lo tanto un semiplano abierto es convexo.

Para el caso del semiplano cerrado basta con cambiar la condición (**).

--Pérez Córdoba Sabino (discusión) 19:17 22 nov 2012 (CST)


1.27 Si es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.

Tomemos una componente y un punto , como y es abierto, existe un disco . Recordando que un subconjunto no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos,tenemos que la unión por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a . Con esto se entiende que y por tanto es abierto.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 19:02 6 nov 2012 (UTC)



FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN



Compleja:z-ej-cap1.0

Compleja:z-ej-cap1.1

Compleja:z-ej-cap1.2

Compleja:z-ej-cap1.3

Compleja:z-ej-cap1.4

Compleja:z-ej-cap2.1

Compleja:z-ej-cap2.2