Compleja:z-ej-cap1.1

La topología del plano complejo

1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica: $u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=0.$

Demostración

Sea $u\in \mathbb {C}$, se observa que: $1-u^{n}=(u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1)(1-u)$ entonces: $u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1={\frac {1-u^{n}}{1-u}}$ Si tomamos a u como la raíz n-ésimas de 1, excepto $u=1$, se tiene que $1-u^{n}=0$ & $1-u\neq 0$ Por lo tanto: $u^{n-1}+u^{n-2}+.....+u+1=0.$ --Sabino (discusión) 20:58 13 nov 2012 (UTC)

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Si $v_{0}=(x_{0},y_{0})\in V\qquad \therefore \qquad y_{0}\geq 0$ Entonces se debe mostrar que hay una bola abierta $B_{1}(v_{0},v)$ contenida en el plano superior.

Sea $v_{0}=(x_{0},y_{0})\in V$ se tiene entonces que $y_{0}\geq 0$. Elegimos $r=y_{0}$ consideremos la bola abierta $B_{1}({v_{0}},y_{0})$, sea ${\overline {v}}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})$se tiene entonces que $||{\overline {v}}-{\overline {v_{0}}}||\geq y_{0}$. Es decir $|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\geq y_{0}$ y queremos ver que $y\geq 0$, procederemos por contradicción.

Supongamos que y<0, entonces

$|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}\geq y_{0}$

Esto es una contradicción

$\therefore \qquad y\geq 0$ y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)

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1.18 Describa los siguientes subconjuntos de $\mathbb {C}$

a)${z\in \mathbb {C} :Im(z)>0}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$, z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. $\therefore$ la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0

b)${z\in \mathbb {C} :Re(z)>{\frac {3}{2}}}$ Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$, z=a+ib. Si la parte ${Re(z)>{\frac {3}{2}}}$, entonces $|a|>{\frac {3}{2}}$ $\therefore$ la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical $a>{\frac {3}{2}}$

c)${z\in \mathbb {C} :|z-1|\leq 2}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|$\leq 2$ $\Rightarrow$|$a-1+b$|$\leq 2$ $\Rightarrow$$(a-1)^{2}+b^{2}$$\leq 4$

$\therefore$ Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2

d) $z\in \mathbb {C} :|z+1|>2$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 $\Rightarrow$|$a-1+b$|>2 $\Rightarrow$$(a-1)^{2}+b^{2}$> 4 $\therefore$ Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2

e) $z\in \mathbb {C} :Im(z)>0,{\frac {-1}{2}}\leq Re(z)\leq {\frac {1}{2}}$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, como b>0 y ${\frac {-1}{2}}\leq a\leq {\frac {1}{2}}$ $\therefore$$z\in ({\frac {-1}{2}},{\frac {1}{2}})$

f) $z\in \mathbb {C} :Im(z)>0,{\frac {-1}{2}}\leq Re(z)\leq {\frac {1}{2}}$,$|z|\geq 1$

Solución

Sea $z\in \mathbb {C}$ y z=a+ib, como b>0 y ${\frac {-1}{2}}\leq a\leq {\frac {1}{2}}$, $|z|\geq 1$, entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1 $\therefore$$z\in$$(-\infty ,-1)$$\bigcup$ $(1,\infty )$

Cesar (discusión)

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1.19 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$. Demuestre que:

(a) $\Omega$ es abierto si y sólo si $\Omega ^{0}=\Omega$.

(b) $\Omega$ es cerrado si y sólo si $\Omega ^{-}=\Omega$.

(a) Si $\Omega$ es abierto, entonces para cada z ∈ $\Omega$ existe un $\epsilon >0$ tal que $B(x,\epsilon )\subset \Omega$. Vemos que la unión de todas las bolas $B(x,\epsilon )$ es $\Omega$. Además, esta unión es igual al interior de $\Omega$ a saber, $\Omega ^{0}$, puesto que para cualquier subconjunto abierto $A$ de $\Omega$ se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego $\Omega ^{0}=\Omega$.

Por otro lado, si $\Omega ^{0}=\Omega$, entonces $\Omega$ es abierto por que $\Omega ^{0}$ es abierto.

(b) Si $\Omega$ es cerrado, entonces $\bigcap \left\{A:A{\mbox{ es cerrado y }}A\supset \Omega \right\}=\Omega ^{-}=\Omega$, por que $\Omega$ es el superconjunto cerrado más pequeño de $\Omega$.

Por otra parte, si $\Omega ^{-}=\Omega$ entonces $\Omega$ es cerrado debido a que $\Omega ^{-}$ es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)

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1.20 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$. Demuestre que:

(a) $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

(b) $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

(c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .

(a)

• P.D. $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$

Sabemos que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Entonces $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega$ y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$, pues el interior de un conjunto ($\Omega ^{0}$) es el mayor abierto contenido en ese conjunto ($\Omega$)

• P.D. $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$

Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que $\mathbb {C} -\Omega \subseteq (\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que $\Omega ^{0}\subseteq \Omega$.

Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de $\Omega$.

Tenemos entonces que $(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \mathbb {C} -\Omega ^{0}$, de donde $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

• Ya que $\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\subseteq \Omega ^{0}$ y $\Omega ^{0}\subseteq \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$, podemos decir que $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$.

(b)

Sabemos que $\Omega ^{-}=[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}$.

Ahora, del inciso anterior, $(\mathbb {C} -\mathrm {X} )^{-}=\mathbb {C} -\mathrm {X} ^{0}$, si $\mathrm {X} \subseteq \mathbb {C}$. Sea $\mathrm {X} =\mathbb {C} -\Omega$,

entonces: $[\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )]^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

Y así $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

(c)

Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que $\Omega \subseteq \Omega ^{-}$)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .

(d)

Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior $\Omega ^{0}$ ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con $\Omega$, es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en $\mathbb {C} -\Omega$). El exterior de $\Omega$ es el interior de $\mathbb {C} -\Omega$, o sea el conjunto $(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

Así, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}

Sabemos del inciso (a) que $\Omega ^{0}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{-}$ y del inciso (b) que $\Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$.

De tal forma que $\mathbb {C} -\Omega ^{0}\cap \mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}=(\mathbb {C} -\Omega )^{-}\cap \Omega ^{-}$.

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)

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1.21 Sea $\Omega \subseteq \mathbb {C}$. Demuestre que:

(a) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} si y sólo si existe $\epsilon >0$ tal que $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega$.

Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} entonces existe un $\epsilon >0$ tal que $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega ^{0}$, por que $\Omega ^{0}$ es abierto. Como $\Omega ^{0}\subseteq \Omega$, resulta que $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega$. En la otra dirección, si $B(z;\epsilon )\subseteq \Omega$ para algún $\epsilon >0$, entonces por ser $B(z;\epsilon )$ un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} , por que $\Omega ^{0}$ es la unión de todos los subconjuntos abiertos de $\Omega$

(b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} si y sólo si para todo $\epsilon >0$ se tiene que $B(z;\epsilon )\cap \Omega \neq \emptyset$

Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} , por 1.20 (b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}) y de este modo $z\notin (\mathbb {C} -\Omega )^{0}$. Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada $\epsilon >0$, $B(z;\epsilon )\nsubseteq (\mathbb {C} -\Omega )$. De esta forma, para cada $\epsilon >0$ hay un punto $w\in B(z;\epsilon )$ que no pertenece a $(\mathbb {C} -\Omega )$, con lo cual $w\in \Omega$, y así $w\in (B(z;\epsilon )\cap \Omega )$. Ahora supóngase que $z\notin \Omega ^{-}=\mathbb {C} -(\mathbb {C} -\Omega )^{0}$, entonces $z\in (\mathbb {C} -\Omega )^{0}$, y por el inciso anterior existe un $\epsilon >0$ tal que $B(z;\epsilon )\subseteq (\mathbb {C} -\Omega )$. De esto se obtiene que $B(z;\epsilon )\cap \Omega \neq \emptyset$.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)

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1.22 Sea $\Omega \subseteq {\mathfrak {C}}$ cualquier conjunto de muestre que:

$\left(1\right)$

$\left(a\right)$ $\Omega$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle &Phi;} son abiertos relativos en $\Omega$.

Tenemos$\Omega _{1}\subseteq \Omega$ es abierto relativo en $\Omega$, por lo que hay un conjunto abierto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Aacute;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Omega_1=&Aacute;\cap\Omega} . Lo mismo para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle &Phi;}

$\left(b\right)$Si $A_{1}$,.....,$A_{n}\subseteq \Omega$ son abiertos relativos, $A_{1}\cap .....\cap A_{n}$ es abierto relativo.

Si$A_{1}\cap ,.....,\cap A_{n}\subseteq \Omega _{1}$ entonces es abierto relativo por $\left(1\right)$. Si existe un $Z\in A_{1}\cap ,.....,\cap A_{n}$, entonces $Z\in a_{k}$, para todo K y como $A_{k}$ es abierto relativo

$\left(c\right)$Si $\lbrace {A_{k}\rbrace }$ es cualquier familia de subconjuntos de $\Omega$ que son abiertos relativos, entonces $\bigcup _{k}A_{k}$ también es abierto relativo.

Si $Z\in \bigcup _{k}A_{k}$ , entonces existe un$A_{k}$ tal que $Z\in A_{k}$, y por lo tanto existe un disco Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle B\left(Z:&epsilon;\right)\subseteq A_k \subseteq\cup A_k,} ya hemos mostrado que$A_{k}$ es abierto relativo en$\left(b\right)$.

$\left(2\right)$

$\left(a\right)$ $\Omega$ y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Phi;} son cerrados relativos en $\Omega$.

Tenemos$\Omega _{1}\subseteq \Omega$ es cerrado relativo en $\Omega$, por lo que hay un conjunto cerrado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle &Aacute;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Omega_1=&Aacute;\cap\Omega} . Lo mismo para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Phi;}

$\left(b\right)$Si $A_{1}$,.....,$A_{n}\subseteq \Omega$ son cerrados relativos, $A_{1}\cup .....\cup A_{n}$ es cerrado relativo.

Si$A_{1}\cup ,.....,\cup A_{n}\subseteq \Omega _{1}$ entonces es cerrado relativo por $\left(1\right)$. Si existe un $Z\in A_{1}\cup ,.....,\cup A_{n}$, entonces $Z\in a_{k}$, para todo K y como $A_{k}$ es cerrado relativo

$\left(c\right)$Si $\lbrace {A_{k}\rbrace }$ es cualquier familia de subconjuntos de $\Omega$ que son cerrados relativos, entonces $\bigcap _{k}A_{k}$ también es cerrado relativo.

Si $Z\in \bigcap _{k}A_{k}$ , entonces existe un$A_{k}$ tal que $Z\in A_{k}$, y como ya hemos mostrado que$Z\in \Omega$ es cerrado relativo, se tine$\bigcap A_{k}$ es cerrado relativo.

--FARFAN ALTAMIRANO LUIS ANTONIOLuis Antonio (discusión) 05:17 12 nov 2012 (UTC)

1.23 Si $A\subseteq \Omega$ es abierto relativo, demuestre que $\Omega -A\subseteq \Omega$ es cerrado relativo. Demuestre también que si $F\subseteq \Omega$ es cerrado relativo, entonces $\Omega -F\subseteq \Omega$ es abierto relativo

* Se dice que un subconjunto abierto $A\subseteq \Omega$ es abierto relativo en $\Omega$ si existe un conjunto abierto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Aacute;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=&Aacute;\cap\Omega} .

* Se dice que un subconjunto cerrado $A\subseteq \Omega$ es cerrado relativo en $\Omega$ si existe un conjunto cerrado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle &Atilde;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=&Atilde;\cap\Omega} .

También sabemos que los conjuntos cerrados son complementarios de los abiertos, y reciprocamente; es decir para cualquiera que sea $A\subseteq \Omega$, se verifica que (nótese que las dos relaciones siguientes son, en realidad una sola):

$A$ es abierto$\Leftrightarrow \Omega -A$ es cerrado

$A$ es cerrado$\Leftrightarrow \Omega -A$ es abierto

Por lo tanto de lo anterior si A es abierto relativo, entonces $\Omega -A\subseteq \Omega$ es cerrado relativo

Demuestre también que si Error al representar (función desconocida «\F»): {\displaystyle \F\subseteq\Omega} es cerrado relativo, entonces $\Omega -F\subseteq \Omega$ es abierto relativo.

Se demuestra de manera similar a lo anterior.

--Farfan altamirano Luis AntonioLuis Antonio (discusión) 22:26 11 nov 2012 (UTC)

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1.24 Demuestre que $I\subseteq \mathbb {R}$ es conexo si y sólo si $I$ es un intervalo.

Sea $I=[a,b],a,b\in \mathbb {R} ,a<b$, y sea $A$ un subconjunto abierto de $I$ tal que $a\in A$ y $A\neq I$ (como $a\in A$, $A$ no es abierto en $\mathbb {R}$, pero si en $I$, es decir, $A$ es abierto relativo a $I$). Si se prueba que $A$ no es también cerrado, entonces se habrá probado que $I$ es conexo.

Puesto que $A$ es abierto, existe un $\epsilon >0$ tal que $[a,a+\epsilon )\subset A$. Sea $r$ el mayor $\epsilon$ para el cual $[a,a+\epsilon )\subset A$, es decir $r=sup\left\{\epsilon :[a,a+\epsilon )\subset A\right\}$. De este modo se tiene que $[a,a+r)\subset A$, pero $a+r\notin A$, por que de lo contrario, puesto que $A$ es abierto, habría un $\delta >0$ tal que $[a,a+r+\delta )\subset A$, contradiciendo la definición de $r$. Luego $a+r\notin A$, y por tanto $a+r\in I-A$. Si $A$ es también cerrado, entonces $I-A$ es abierto, y por tanto se puede encontrar un $\delta >0$ tal que $[a+r-\delta ,a+r+\delta )\subset I-A$, lo cual contradice el hecho de que $[a,a+r)\subset A$. Por lo tanto, $A$ no puede ser cerrado.

Ahora supóngase que $I$ no es un intervalo, entonces existen dos puntos $a,b\in I,a<b$, tal que $(a,b)\nsubseteq I$ (un teorema afirma que $I$ es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos $a,b\in I$, con $a<b$ se tiene que $(a,b)\subset I$). Entonces, existe un punto $c\notin I$ tal que $a<c<b$. Como $a\in (-\infty ,c)$ y $b\in (c,\infty )$ se tiene que $I=(I\cap (-\infty ,c))\cup (I\cap (c,\infty ))$, donde $(I\cap (-\infty ,c))$ y $(I\cap (c,\infty ))$ son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, $I$ no es conexo.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)

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1.27 Si $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.

Tomemos una componente $\Omega {\text{´}}\subseteq \mathbb {C}$ y un punto $z_{0}\epsilon \Omega {\text{´}}$, como $z_{0}\epsilon \Omega$ y $\Omega$ es abierto, existe un disco $B(z_{0};r)\subseteq \Omega$. Recordando que un subconjunto $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos,tenemos que la unión $B(z_{0};r)\cup \Omega {\text{´}}$ por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a $\Omega {\text{´}}$. Con esto se entiende que $B(z_{0};r)\subseteq \Omega {\text{´}}$ y por tanto $\Omega {\text{´}}$ es abierto.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 19:02 6 nov 2012 (UTC)

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FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN