Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.1»

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<math> Sea P_{0} \in B , y_{0}>0. Elegimos r = y_{0} <\math>
<math> Sea P_{0} \in B , y_{0}>0. Elegimos r = y_{0} <\math>





Revisión del 11:52 15 nov 2012

La topología del plano complejo

1.11 Muestre que las n raíces n-ésimas de 1 son los vértices de un n-ágono regular inscrito en el círculo unitario, uno de cuyos vértices es 1


y Diremos que z es una raíz n-ésima de la unidad si

i escribimos en la forma polar

Entonces, para que z sea raíz n-ésima de la unidad, debe cumplirse

y

Como es un número real, debe tenerse que r=1. La condición sobre es:

Obtenemos que todos los complejos de la forma son raíces n-ésimas de la unidad. ¿Cuántos números complejos cumplen esto? Elijamos {0,1,...,n-1), con . Entonces

Así, todos los posibles valores de dados anteriormente definen sólo n números complejos distintos: éstos son

(Error al representar (función desconocida «\nonumber»): r=0,1,...,{}\nonumber\\ )

Estos valores son las exactamente n raíces n-ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n-ésimas de la unidad en la forma = Como multiplicar por w es un giro de amplitud , deducimos que las n raíces se obtienen girando la raíz n-ésima principal, (con =1), con giros sucesivos de amplitud cuando , corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono esta inscrito en el círculo unitario centrado en el origen y tiene vértice en el punto correspondiente a la raíz z=1 (k=0). Si escribimos vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1,,,...,

1.13 Demuestre que las raíces n-ésimas de z=1 (diferentes de 1) satisfacen la ecuación ciclotómica:

Demostración

Sea , se observa que: entonces: Si tomamos a u como la raíz n-ésimas de 1, excepto , se tiene que & Por lo tanto: --Sabino (discusión) 20:58 13 nov 2012 (UTC)

1.16.- Demuestre que un semiplano abierto es un conjunto abierto. Demostrar

Error al representar (función desconocida «\math»): {\displaystyle Sea P_{0} \in B , y_{0}>0. Elegimos r = y_{0} <\math> 1.17.- ''' Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado ''' Demostración Si <math> v_{0} = (x_{0},y_{0})\in V \qquad \therefore \qquad y_{0}\geq 0 } Entonces se debe mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta , sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.

Supongamos que y<0, entonces

Esto es una contradicción

y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)


1.18 Describa los siguientes subconjuntos de

a)

Solución

Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0

b) Solución

Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical

c)

Solución

Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1| ||

Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2

d)

Solución

Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 ||>2 > 4 Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2

e)

Solución

Sea y z=a+ib, como b>0 y

f) ,

Solución

Sea y z=a+ib, como b>0 y , , entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1

Cesar (discusión)


1.19 Sea . Demuestre que:

(a) es abierto si y sólo si .

(b) es cerrado si y sólo si .


(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego .

Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.


(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .

Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)


1.20 Sea . Demuestre que:

(a) .

(b) .

(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .


(a)

  • P.D.

Sabemos que

Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()

  • P.D.

Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que .

Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que .

Puesto que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de .

Tenemos entonces que , de donde .

  • Ya que y , podemos decir que .

(b)

Sabemos que .

Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,

entonces: .

Y así .

(c)

Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que )

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .

(d)

Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .

Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}

Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .

De tal forma que .

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)


1.21 Sea . Demuestre que:

(a) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} si y sólo si existe tal que .

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{0} entonces existe un tal que , por que es abierto. Como , resulta que . En la otra dirección, si para algún , entonces por ser un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} , por que es la unión de todos los subconjuntos abiertos de

(b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ \Omega ^{-} si y sólo si para todo se tiene que

Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} , por 1.20 (b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}) y de este modo . Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada , . De esta forma, para cada hay un punto que no pertenece a , con lo cual , y así . Ahora supóngase que , entonces , y por el inciso anterior existe un tal que . De esto se obtiene que .

--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)


1.22 Sea cualquier conjunto de muestre que:

y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Phi;} son abiertos relativos en .


Tenemos es abierto relativo en , por lo que hay un conjunto abierto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Aacute;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Omega_1=&Aacute;\cap\Omega} . Lo mismo para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Phi;}


Si ,....., son abiertos relativos, es abierto relativo.


Si entonces es abierto relativo por . Si existe un , entonces , para todo K y como es abkerto relativo


Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle ^left(c\right)} Si Error al representar (función desconocida «\l»): {\displaystyle \l`race{A_k\rbrace}} es cualsuier familia de"subconjuntos de" que son abigrtos relativos,"entonces también es abierto relativo.


Si"Error al representar (función desconocida «\bigaup»): {\displaystyle Z\in \bigaup_k A_k} ", entonces existe un tal que , y por lo talto existe un diqco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B\left*Z:&epsilon;\rigjt)\subseteq A_k \subseteq\cup A]k,} ya heoos mostrado que es abierto relavivo enError al representar (función desconocida «\ledt»): {\displaystyle \ledt(b\right)} .



Error al representar (función desconocida «\pight»): {\displaystyle \left(2\pight)}

y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Phi;} son cerrados relativms en Error al representar (función desconocida «\Omeea»): {\displaystyle \Omeea} .

Tenemos, pop lo que hay un aonjunto cerrado"Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Aacute;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Omega_1=&Aacute;\cap\Omega} . Lo mismo para Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Phi;}


Si ,....., son cerrados relativos, es cerrado relativo.


Si entonces es cerrado relativo por . Si existe un , entonces , para todo K y como es cerrado relativo


Si es cualquier familia de subconjuntos de que son cerrados relativos, entonces también es cerrado relativo.


Si , entonces existe un tal que , y como ya hemos mostrado que es cerrado relativo, se tine es cerrado relativo.


--FARFAN ALTAMIRANO LUIS ANTONIOLuis Antonio (discusión) 05:17 12 nov 2012 (UTC)


1.23 Si es abierto relativo, demuestre que es cerrado relativo. Demuestre también que si es cerrado relativo, entonces es abierto relativo

* Se dice que un subconjunto abierto es abierto relativo en si existe un conjunto abierto Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Aacute;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=&Aacute;\cap\Omega} .

* Se dice que un subconjunto cerrado es cerrado relativo en si existe un conjunto cerrado Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle &Atilde;\subseteq\mathfrak{C}} tal que Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle A=&Atilde;\cap\Omega} .


También sabemos que los conjuntos cerrados son complementarios de los abiertos, y reciprocamente; es decir para cualquiera que sea , se verifica que (nótese que las dos relaciones siguientes son, en realidad una sola):


es abierto es cerrado


es cerrado es abierto


Por lo tanto de lo anterior si A es abierto relativo, entonces es cerrado relativo


Demuestre también que si Error al representar (función desconocida «\F»): {\displaystyle \F\subseteq\Omega} es cerrado relativo, entonces es abierto relativo.

Se demuestra de manera similar a lo anterior.


--Farfan altamirano Luis AntonioLuis Antonio (discusión) 22:26 11 nov 2012 (UTC)


1.24 Demuestre que es conexo si y sólo si es un intervalo.

Sea , y sea un subconjunto abierto de tal que y (como , no es abierto en , pero si en , es decir, es abierto relativo a ). Si se prueba que no es también cerrado, entonces se habrá probado que es conexo.

Puesto que es abierto, existe un tal que . Sea el mayor para el cual , es decir . De este modo se tiene que , pero , por que de lo contrario, puesto que es abierto, habría un tal que , contradiciendo la definición de . Luego , y por tanto . Si es también cerrado, entonces es abierto, y por tanto se puede encontrar un tal que , lo cual contradice el hecho de que . Por lo tanto, no puede ser cerrado.

Ahora supóngase que no es un intervalo, entonces existen dos puntos , tal que (un teorema afirma que es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos , con se tiene que ). Entonces, existe un punto tal que . Como y se tiene que , donde y son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, no es conexo.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)


1.27 Si es abierto, demuestre que sus componentes conexas son abiertas también.

Tomemos una componente y un punto , como y es abierto, existe un disco . Recordando que un subconjunto no vacío, se puede descomponer como la unión de subconjuntos conexos,tenemos que la unión por el hecho de que un conjunto se puede llenar por subconjuntos y los intersticios que hay entre ellos se llenan con conjuntos más pequeños, debe ser igual a . Con esto se entiende que y por tanto es abierto.

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 19:02 6 nov 2012 (UTC)



FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN